常微分方程試題及答案資料.doc

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1、常微分方程試題及答案精品文檔常微分方程模擬試題一、填空題（每小題3分，本題共15分）1．一階微分方程的通解的圖像是　　2　　維空間上的一族曲線．2．二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解為方程的基本解組充分必要條件是．3．方程的基本解組是．4．一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定是區(qū)間．5．方程的常數(shù)解是．二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）6．方程滿足初值問(wèn)題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是（）．（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y軸外的全平面7.方程（）奇解．　　（A）有一個(gè)（B）有兩個(gè)（C）無(wú)（D）有無(wú)數(shù)個(gè)8．連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的（）條

2、件．（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分9．二階線性非齊次微分方程的所有解（）．（A）構(gòu)成一個(gè)2維線性空間（B）構(gòu)成一個(gè)3維線性空間（C）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間（D）構(gòu)成一個(gè)無(wú)限維線性空間10．方程過(guò)點(diǎn)(0,0)有（B?。　?A)無(wú)數(shù)個(gè)解　　　　(B)只有一個(gè)解　(C)只有兩個(gè)解　　　(D)只有三個(gè)解三、計(jì)算題（每小題６分，本題共30分）求下列方程的通解或通積分：11.12.13.14．15．四、計(jì)算題（每小題10分，本題共20分）16．求方程的通解．17．求下列方程組的通解．收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔五、證明題（每小題10

3、分，本題共20分）18．設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的一切解，均有．19．在方程中，在上連續(xù)，求證：若恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式是上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．常微分方程模擬試題參考答案一、填空題（每小題3分，本題共15分）1．22．線性無(wú)關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零）3．4．開5．二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）6．D7．C8．B9．C10．A三、計(jì)算題（每小題６分，本題共30分）11．解：為常數(shù)解（1分）當(dāng)，時(shí)，分離變量取不定積分，得（3分）通積分為（6分）注：包含在常數(shù)解中，當(dāng)時(shí)就是常數(shù)解，因此常數(shù)解可以不專門列出。13．解：方程

4、兩端同乘以，得（1分）令，則，代入上式，得（3分）這是一階線形微分方程，對(duì)應(yīng)一階線形齊次方程的通解為（4分）利用常數(shù)變易法可得到一階線形微分方程的通解為（5分）因此原方程通解為收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔（6分）14．解：因?yàn)?，所以原方程是全微分方程．?分）取，原方程的通積分為（4分）計(jì)算得（6分）15．解：原方程是克萊洛方程，通解為（6分）四、計(jì)算題（每小題10分，本題共20分）16．解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，（1分）特征根為，，（2分）齊次方程的通解為（4分）因?yàn)槭翘卣鞲?。所以，設(shè)非齊次方程的特解為（6分）代入原方程，比較系數(shù)確定出

5、，，（9分）原方程的通解為（10分）17．解：齊次方程的特征方程為（1分）特征根為（2分）求得特征向量為（3分）因此齊次方程的通解為（4分）令非齊次方程特解為（5分）收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔滿足（6分）解得（8分）積分，得，（9分）通解為（10分）五、證明題（每小題10分，本題共20分）18．證明：設(shè)是方程任一解，滿足，該解的表達(dá)式為（4分）取極限=（10分）19．證明：設(shè)，是方程的基本解組，則對(duì)任意，它們朗斯基行列式在上有定義，且．又由劉維爾公式，（5分）由于，，于是對(duì)一切，有或故是上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．（10分）收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系

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