概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題3詳解概要.doc

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1、一、第三章習(xí)題詳解：3.1設(shè)二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)為:求.解：因?yàn)椋?，所?.2盒中裝有3個黑球,2個白球.現(xiàn)從中任取4個球,用X表示取到的黑球的個數(shù),用Y表示取到的白球的個數(shù),求(X,Y)的概率分布.解：因?yàn)閄+Y=4，所以(X,Y)的可能取值為(2,2),(3,1)且，，故(X,Y)的概率分布為XY12200.630.403.3將一枚均勻的硬幣拋擲3次,用X表示在3次中出現(xiàn)正面的次數(shù),用Y表示3次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值，求(X,Y)的概率分布.解：因?yàn)?，又X的可能取值為0,1,2,3所以(X,Y)的

2、可能取值為(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)且，，故(X,Y)的概率分布為XY13001/813/8023/80301/83.4設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為:(1)確定常數(shù);(2)求(3)求,這里是由這三條直線所圍成的三角形區(qū)域.解：(1)因?yàn)橛桑?a=1，故a=1/9.(2)(3)3.5設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為:(1)求分布函數(shù);(2)求解：(1)求分布函數(shù);當(dāng)，其他情形，由于=0，顯然有=0。綜合起來，有(2)求3.6向一個無限平面靶射擊,設(shè)命中點(diǎn)的概率密度函數(shù)為求命中點(diǎn)與靶心(坐標(biāo)原點(diǎn))的距離

3、不超過a的概率.解：3.7設(shè)二維隨機(jī)向量的概率分布如下表所示,求X和Y的邊緣概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解：因?yàn)樗?，X的邊緣分布為X13P0.750.25因?yàn)樗?，Y的邊緣分布為Y025P0.200.430.373.8設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為求邊緣概率密度.解：因?yàn)椋?dāng)時，；其他情形，顯然所以，X的邊緣分布密度為又因?yàn)?，?dāng)時，其他情形，顯然所以，Y的邊緣分布密度為3.9設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為求邊緣概率密度.解，積分區(qū)域顯然為三角形區(qū)域，當(dāng)時，，因此；其他情形，顯

4、然所以，X的邊緣分布密度為同理，當(dāng)時，因此其他情形，顯然所以，Y的邊緣分布密度為3.10設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為(1)確定常數(shù)c的值.(2)求邊緣概率密度.解：(1)因?yàn)樗詂=6.(2)因?yàn)?，?dāng)時，所以，X的邊緣分布密度為又因?yàn)?，?dāng)時，所以，Y的邊緣分布密度為3.11求習(xí)題3.7中的條件概率分布.解：由T3.7知，X、Y的邊緣分布分別是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)當(dāng)X=1時，Y的條件分布為即Y025P1/51/37/15(2)當(dāng)X=3時，Y的條件分布為即Y025P1/518/25

5、2/25(3)當(dāng)Y=0時，X的條件分布為即X13P3/41/4(4)當(dāng)Y=2時，X的條件分布為即X13P0.5810.419(5)當(dāng)Y=5時，X的條件分布為即X13P0.9460.0543.12設(shè)X在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)地取值,當(dāng)觀察到X=x(0

6、14問習(xí)題3.7中的X與Y是否相互獨(dú)立？解:由T3.7知，X、Y的邊緣分布分別是X13Y025P0.750.25P0.200.430.370.75,,而,顯然,從而X與Y不相互獨(dú)立.3.15設(shè)二維隨機(jī)向量的概率分布如下表所示,求X和Y的邊緣概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02問取何值時,X與Y相互獨(dú)立?解：因?yàn)椋猉和Y相互獨(dú)立，則即，得由，得即，得3.16問習(xí)題3.8和習(xí)題3.9中的X與Y是否相互獨(dú)立？解：由習(xí)題3.8，二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為X的邊緣分布密度為，Y的邊緣分布密度

7、為，顯然有，X與Y相互獨(dú)立.由習(xí)題3.9,維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為,X的邊緣分布密度為，Y的邊緣分布密度為,顯然有，X與Y不獨(dú)立.3.17設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為,問X與Y是否相互獨(dú)立?解：因?yàn)閷τ趚>0,y>0，都有,所以，X與Y是相互獨(dú)立的.3.18設(shè)二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)為討論的獨(dú)立性.解：因?yàn)橛捎谒?，X與Y是相互獨(dú)立的。3.19設(shè)X與Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,并且均服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布,求X+Y的概率密度函數(shù).解：由于X與Y均服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布，故X與Y的邊緣密度函數(shù)分別為：，記,

8、由于X與Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,根據(jù)書中72頁（3.7.3）式,的概率密度函數(shù)可以寫為當(dāng)時,若，則；若或，被積函數(shù)為0，此時顯然有.當(dāng)時，若,則，若或，被積函數(shù)為0，此時顯然有；的其他情形,顯然有=0.綜合起來，有此題也可以用先求分布函數(shù)然后再求導(dǎo)的方法來解,需要注意的一點(diǎn)是,當(dāng)時，積分區(qū)域要分成兩