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《概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題詳解 周概容 習(xí)題3解》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、習(xí)題三多元隨機(jī)變量的分布3.1假設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間[?]2,2服從均勻分布，隨機(jī)變量??,1若U≤?,1??,1若U≤,1X=?Y=??,1若U>?1；?,1若U>1．求X和Y的聯(lián)合概率分布．解隨機(jī)向量(X,Y)有(?,1?1),(?1,1),,1(?1),)1,1(等4個可能值，1P{}X=?,1Y=?1=P{}U≤?,1U≤1=P{U≤?1}=，4P{}X=?,1Y=1=P{}U≤?,1U>1=P(φ)=0，1P{}X=,1Y=?1=P{}U>?,1U≤1=P{?1?,1U>1=P{U>1}=．4于是X和Y的聯(lián)合概率分
2、布為?(?,1?)1(?)1,1,1(?)1)1,1(???(X,Y)~111．?0??424?3.2假設(shè)一批產(chǎn)品中有4件不合格品和16件合格品，接連從中隨機(jī)地抽出兩件，以X和Y分別表示先后抽到不合格品的件數(shù)（0或1），試求，(1)X和Y的聯(lián)合分布；(2)由X和Y的聯(lián)合分布求X和Y的概率分布．解(1)按古典型概率公式分別計算(X,Y)取0,0(),1,0(),0,1(),)1,1(為值的概率，得?)0,0()1,0()0,1()1,1(???(X,Y)~16×1516×44×164×3???20×1920×1920×1920×19?．?)0,0()1,0()0,1()1,
3、1(???=6016163．???95959595?(2)X和Y都有0和1兩個可能值，由全概率公式，有4P{X=}0=P{X=,0Y=}0+P{X=,0Y=}1=；54P{Y=}0=P{X=,0Y=}0+P{X=,1Y=}0=．5由此得X和Y的概率分布：?01??01?X~?41?，Y~?41?．?????55??55?3.3假設(shè)射手甲、乙的命中率相應(yīng)為0.6和0.7．二人各獨立地進(jìn)行一次射擊，分別以X和Y表示他們命中的次數(shù)（0或1），求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)及其邊緣分布函數(shù)．解首先求X和的聯(lián)合分布．引進(jìn)事件YA={甲命中}，B={乙命中}．由條件知事件A和B獨立，P(A)
4、=,6.0P(B)=7.0；顯然A={X=1}，B={Y=1}；(X,Y)有4個可能值：—習(xí)題解答●3.1—0,0(),1,0(),0,1(),)1,1(，因此P{X=,0Y=}0=P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.3=0.12；P{X=,0Y=}1=P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.7=0.28；P{X=,1Y=}0=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.3=0.18；P{X=,1Y=}1=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42；．于是得X和Y的聯(lián)合概率分布?)0,0()1,0()0,1()1,1(?(X,Y)~????．?.012.
5、028.018.042?現(xiàn)在求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)．顯然，若x<0或y<0，則F(x,y)=0；對于0≤x<1，，0≤y<1F(x,y)=P{}X≤x,Y≤y=P{X=,0Y=0}=.012；對于x≥1，0≤y<1F(x,y)=P{}X≤x,Y≤y=P{}X=,0Y=0+P{}X=,1Y=0=.030；對于0≤x<1，，y≥1F(x,y)=P{}X≤x,Y≤y=P{}X=,0Y=0+P{}X=,0Y=1=.040；對于x≥1，y≥1，顯然F(x,y)=1．于是，X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為?0，若x<0或y<0，?.012，若0≤x<1，0≤y<1，??F(x,y)
6、=?.030，若x≥1，0≤y<1，?.040，若0≤x<1，y≥1，???1，若x≥1，y≥1．現(xiàn)在求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)．可以通過兩個途徑求邊緣分布函數(shù)：一是，首先由X和Y的聯(lián)合分布分別求X和Y的概率分布，然后由概率分布求分布函數(shù)；二是，直接由聯(lián)合分布函數(shù)求邊緣分布函數(shù)．現(xiàn)在我們用后一種方法來求X和Y的分布函數(shù)F1(x)和F2(y)．易見，當(dāng)x<0時，F(xiàn)1(x)=0；當(dāng)x>1時，F(xiàn)1(x)=1；現(xiàn)在設(shè)0≤x≤1，有F(x)=F(x,+∞)=P{X≤x,Y≤+∞}1=P{}X≤x,Y≤1=F(x)1,=.4.0于是，X的分布函數(shù)為?0，若x<,0?F1(x
7、)=?4.0，若0≤x≤,1??1，若x>1．類似可得Y的分布函數(shù)—習(xí)題解答●3.2—?0，若x<,0?F2(y)=?3.0，若0≤x≤,1??1，若x>1．3.4設(shè)隨機(jī)變量X和Y各只有－1,0,1等三個可能值，且同分布并滿足條件：1P{}X=?1=P{}X=1=．4試求X和Y的聯(lián)合分布，假設(shè)滿足條件，(1)P{XY=0}=1；(2)P{X+Y=0}=1．解(1)下面表中用黑體表示已知的概率，其中由條件P{XY≠0}=0得表心中的4個黑體“0”．從而不難求出表中的其他概率．X－101ΣY－104/101/404/104/11/
