2、變量X的階矩kαk=EX(k>)0存在，X1,X2,Λ,Xn是獨立與X同分布隨機變量，試證明，1nkP?lim∑Xi=αk．n→∞ni=1kkkk證明由于X1,X2,Λ,Xn獨立同分布，可見X1,X2,Λ,Xn也獨立同分布，且EX(k>)0存在．因此，根據辛欽大數定律，有1nkkP?lim∑Xi=EX=αk．n→∞ni=125.3假設隨機變量列X1X,2,ΛX,n,Λ兩兩獨立并且同分布，EXi=μ，DXi=σ存在，證明X1,X2,Λ,Xn的算術平均值Xn依概率收斂于（各個變量共同的）數學期望μ：n1P?lim∑Xi=μ．n→∞ni=1證明易見?1n?1nEXn=E??∑Xi?
3、?=∑EXi=μ，?ni=1?ni=1?n?n211σDXn=D??∑Xi??=2∑DXi=．?ni=1?ni=1n由切貝紹夫（切比雪夫）不等式可見，對于任意ε>0，有2{}DXnσ()P
4、Xn?μ
5、≥ε≤=→0n→∞．22εnε5.4設隨機變量X在區(qū)間(?)2,1上服從均勻分布，X1,X2,Λ,Xn是獨立與X同分布隨機變量，試證明，1n2P?lim∑Xi=1．n→∞ni=1—習題解答●5.1—證明由X1,X2,Λ,Xn獨立同在區(qū)間(?)2,1上服從均勻分布，可見數學期望存在：22222EXi=2/1，DXi=/912；從而X1,X2,Λ,Xn獨立同分布，且EXi=DXi+(
6、EXi)=1存在．因此，根據辛欽大數定律，有1n22P?lim∑Xi=EX=1．n→∞ni=15.5假設天平無系統誤差．將一質量為10g的物品重復進行稱量，證明當稱量次數無限增大時，稱量結果的算術平均值依概率收斂于10g．解因為各次稱量的結果Xi(i=,2,1Λ,n,Λ)可以視為獨立同分布隨機變量，其數學期望都等于EXi=10(gi=,2,1Λ,n,Λ)，所以根據辛欽大數定律，當n→∞時，n次稱量結果的算術平均值Xn依概率收斂于其共同的數學期望10g．5.6設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，X1,X2,Λ,Xn是獨立與X同分布隨機變量，試證明，n122P?lim∑Xi=λ+
7、λ．n→∞nk=1222證明由于X1,X2,Λ,Xn獨立同泊松分布，可見X1,X2,Λ,Xn也獨立同分布，而且數學期望存在：222EXi=DXi+(EXi)=λ+λ．因此，根據辛欽大數定律，有n122P?lim∑Xk=λ+λ．n→∞nk=15.7設隨機變量X服從參數為(m,p)的二項分布，X1,X2,Λ,Xn是獨立與X同分布隨機變量，求極限n12P?lim∑Xi．n→∞ni=1222解由于X1,X2,Λ,Xn獨立同服從參數為(m,p)的二項分布，可見X1,X2,Λ,Xn也獨立同二項分布，而且數學期望存在：222EXi=(EXi)+DXi=(mp)+mp1(?p)，因此，根據辛
8、欽大數定律，有n122P?lim∑Xi=(mp)+mp1(?p)．n→∞ni=15.8假設隨機變量X1,X2,Λ,Xn獨立同服從參數為2的指數分布，證明當n充分大時，22222Sn=ΛX1+X2++Xn近似服從正態(tài)分布N(μn,σn)，并通過前4階矩表示μn和σn．證明參數為2的指數分布的概率密度為—習題解答●5.2—??2x?e2，若x>0，11f(x)=?EXi=,DXi=；??0，若x>;02422EXi=DXi+(EXi)=2/1，而由分部積分法可見∞44?2x3EXi=2∫xedx=．202422從而DXi=EXI?(EXi)=54；ESn=n,2/DSn=5n4/
9、．由于X1,X2,Λ,Xn獨立同分布，且數學期望和方差存在，則根據列維-林德伯格中心極限定理，當n充分大時Sn近似服從正態(tài)分布，2且μn=ESn=n2，σn=DSn=5n4．5.9一包裝工平均三分鐘完成一件包裝．假設實際完成一件包裝所用時間服從指數分布，試利用中心極限定理，求完成100件包裝的總時間需要5h到6h的概率的近似值．解設Xi是完成第i件包裝所用時間．由條件知，Xi服從指數分布，EX=3min，從而分布參數λ=3/1，DX=9．記T=X1+X2+Λ+X100為完成100件包裝的總時間，則T近似
