“雙劍合璧”巧解題.doc

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1、“雙劍合璧”巧解題——淺談數(shù)形結(jié)合的解題方法初二（5）班陳衍宇老子說(shuō)過(guò)：“天下大事，必作于細(xì)，天下難事，必作于易?！币虼耍獯饠?shù)學(xué)題也是這樣。我們應(yīng)當(dāng)從簡(jiǎn)單的情況做起，就要數(shù)形結(jié)合，使得題目更加直觀明了，此外，數(shù)形結(jié)合思想能轉(zhuǎn)化思維角度，迅速解題。筆者在硏究難題時(shí)，摸索出一系列數(shù)形結(jié)合的解題方法，現(xiàn)展示出來(lái)與諸君共享。從數(shù)形中尋找規(guī)律n條直線(xiàn)最多能將平面分成多少份呢？要解決這個(gè)問(wèn)題，可以從簡(jiǎn)單的情況做起：設(shè)n條直線(xiàn)最多能將平面分成an份。當(dāng)n=1時(shí)，如圖1，顯然a1=2：則有a1=2=1+1當(dāng)n=2時(shí)，如圖2，則a

2、2=4：則有a2=4=1+1+2當(dāng)n=3時(shí)，如圖3，則a3=7：則有a3=7=1+1+2+3圖1圖2圖3依此類(lèi)推，在增加第n條直線(xiàn)時(shí)，一條直線(xiàn)至多被前（n-1）條直線(xiàn)分為n段，每段將原來(lái)平面被分成的部分分為兩份，即；an=an-1+n=an-2+（n-1）+n=……=1+1+2+……+n=1+由上述得出的方法是：解決類(lèi)似循環(huán)的題目時(shí)，要結(jié)合圖形的規(guī)律來(lái)突破難關(guān)，快速解出難題。列表簡(jiǎn)化。有這么一道題：某學(xué)校舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五位同學(xué)得了前五名，發(fā)獎(jiǎng)前，老師讓他們猜一猜各人的名次排列情況。Ａ說(shuō)：“Ｂ第三名

3、，Ｃ第五名”；Ｂ說(shuō)：“Ｅ第四名，Ｄ第五名”；Ｃ說(shuō)：“Ａ第一名，Ｅ第四名”；Ｄ說(shuō)：“Ｃ第一名，Ｂ第二名”；Ｅ說(shuō)：“Ａ第三名，Ｄ第四名”。老師說(shuō)：“每個(gè)名次都有人猜對(duì)”。問(wèn)這五位同學(xué)的名次是怎樣排列的？看到這一大堆數(shù)據(jù)，相信大家也覺(jué)得頭昏腦脹吧。為了能讓這些條件與結(jié)論之間的聯(lián)系明朗化，我們不如列表格：判斷者名次一二三四五ＡＢＣＢＥＤＣＡＣＤＣＢＥＡＤ由上表可見(jiàn)，被猜為第二名的只有Ｂ一人，則可以斷定Ｂ是第二名，而不是第三名，并由此推知Ａ是第三名。由Ａ是第三名推知Ｃ是第一名，繼而確定Ｄ是第五名，最后可知Ｅ是第四名?！∫虼?，

4、五位同學(xué)的名次排列為：Ｃ是第一名，Ｂ是第二名，Ａ是第二名，Ｅ是第四名，Ｄ是第五名。當(dāng)遇到大量且模糊的條件時(shí)，不妨列個(gè)表，既使條件一目了然，促進(jìn)做題效率，讓難題簡(jiǎn)化到我們能解決的水平，又提高了我們分析題目的能力，多多益善。巧畫(huà)函數(shù)圖象當(dāng)我們學(xué)到用一次函數(shù)圖象來(lái)解題時(shí)，覺(jué)得復(fù)雜且有偏差，不好使用。事實(shí)上，某些較為復(fù)雜的行程問(wèn)題，往往數(shù)量關(guān)系不明，難以建立等量關(guān)系，如果我們通過(guò)建立一次函數(shù)模型，則可將隱藏于文字中的數(shù)量關(guān)系，利用函數(shù)圖象直觀地顯現(xiàn)出來(lái)，這就為解決復(fù)雜的行程問(wèn)題提供了一條簡(jiǎn)單有效的解題途徑。請(qǐng)看下面一個(gè)例子

5、：一巡邏艇和一貨輪同時(shí)從Ａ港口出發(fā)前往相距１００公里的Ｂ港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為時(shí)速１００公里和２０公里，巡邏艇不停的往返于Ａ、Ｂ兩港口巡邏（巡邏調(diào)頭時(shí)的時(shí)間忽略不計(jì)）。１）貨輪從Ａ港口出發(fā)以后直到Ｂ港口與巡邏艇一共相遇了幾次？２）出發(fā)多少時(shí)間，巡邏艇與貨輪第三次相遇，此時(shí)離Ａ港口多少米？解析：１）由題意可畫(huà)出巡邏艇（實(shí)線(xiàn)）、貨輪（虛線(xiàn)）行駛路程與時(shí)間關(guān)系圖象。如圖４所示，它們圖象有四個(gè)交點(diǎn)（不包括原點(diǎn)），因而貨輪從Ａ港口出發(fā)以后直到Ｂ港口與巡邏艇一共相遇４次。圖4２）先觀察出第三次相遇在圖中是哪兩條直線(xiàn)的交

6、點(diǎn)。如圖４，設(shè)Ｅ、Ｆ所在直線(xiàn)的方程為y2=kx+b，又E（3，100），F(xiàn)（4，0），代入求得k=-100，b=400，故y2=-100x+400.又OD所在的方程為y1=20x，聯(lián)立，得：y=-100x+400y=20x解之得：x=y=即C（，）答：出發(fā)時(shí)巡邏艇與貨輪第三次相遇，這時(shí)離A港口千米。上面的例子，巧妙地將行程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的圖象問(wèn)題，思路清晰，關(guān)系明了，使我們看到了數(shù)形結(jié)合的威力。其中，數(shù)形結(jié)合也是用函數(shù)圖象解題的一大特點(diǎn)，對(duì)于繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很重要。數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換，它能使抽象思

7、維和形象思維相互作用。只要八方賢人各抒己見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合解題方法還遠(yuǎn)不止這些。所以碰到難題時(shí)，請(qǐng)不要愄懼，一定要多開(kāi)動(dòng)腦筋，化難為易，難題自然迎刃而解。