矢量分析與場(chǎng)論講義.doc

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1、矢量分析與場(chǎng)論矢量分析是矢量代數(shù)和微機(jī)分運(yùn)算的結(jié)合和推廣，主要研究矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等。而場(chǎng)論則是借助于矢量分析這個(gè)工具，研究數(shù)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)的有關(guān)概念和性質(zhì)。通過(guò)這一部分的學(xué)習(xí)，可使讀者掌握矢量分析和場(chǎng)論這兩個(gè)數(shù)學(xué)工具，并初步接觸到算子的概念及其簡(jiǎn)單用法，為以后學(xué)習(xí)有關(guān)專(zhuān)業(yè)課程和解決實(shí)際問(wèn)題，打下了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第一章矢量分析一內(nèi)容概要1矢量分析是場(chǎng)論的基礎(chǔ)，本章主要包括以下幾個(gè)主要概念：矢性函數(shù)及其極限、連續(xù)，有關(guān)導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念。與高等數(shù)學(xué)研究過(guò)的數(shù)性函數(shù)的相應(yīng)概念完全類(lèi)似，

2、可以看成是這些概念在矢量分析中的推廣。b5E2RGbCAP2本章所討論的，僅限于一個(gè)自變量的矢性函數(shù)，但在后邊場(chǎng)論部分所涉及的矢性函數(shù)，則完全是兩個(gè)或者三個(gè)自變量的多元矢性函數(shù)或者，對(duì)于這種多元矢性函數(shù)及其極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念，完全可以仿照本章將高等數(shù)學(xué)中的多元函數(shù)及其有關(guān)的相應(yīng)概念加以推廣而得出。p1EanqFDPw3本章的重點(diǎn)是矢性函數(shù)及其微分法，特別要注意導(dǎo)矢的幾何意義，即是位于的矢端曲線上的一個(gè)切向矢量，其起點(diǎn)在曲線上對(duì)應(yīng)t值的點(diǎn)處，且恒指向t值增大的一方。DXDiTa9E3d如果將自變

3、量取為矢端曲線的弧長(zhǎng)s，即矢性函數(shù)成為，則不僅是一個(gè)恒指向s增大一方的切向矢量，而且是一個(gè)單位切向矢量。這一點(diǎn)在幾何和力學(xué)上都很重要。RTCrpUDGiT419/19矢量保持定長(zhǎng)的充分必要條件是與其導(dǎo)矢互相垂直。因此單位矢量與其導(dǎo)矢互相垂直。比如圓函數(shù)為單位矢量，故有，此外又由于，故。<圓函數(shù)還可以用來(lái)簡(jiǎn)化較冗長(zhǎng)的公式，注意靈活運(yùn)用）。5PCzVD7HxA5在矢性函數(shù)的積分法中，注意兩個(gè)矢性函數(shù)的數(shù)量積和兩個(gè)矢性函數(shù)的矢量積的分部積分法公式有所不同，分別為：jLBHrnAILg前者與高等數(shù)學(xué)種數(shù)性函數(shù)的分部

4、積分法公式一致，后者由兩項(xiàng)相減變?yōu)榱饲蠛?，這是因?yàn)槭噶糠e服從于“負(fù)交換律”之故。xHAQX74J0X6在矢量代數(shù)中，在引進(jìn)了矢量坐標(biāo)之后，一個(gè)空間量就和三個(gè)數(shù)量構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且有關(guān)矢量的一些運(yùn)算，例如和、差以及數(shù)量與矢量的乘積都可以轉(zhuǎn)化為三個(gè)數(shù)量坐標(biāo)的相應(yīng)運(yùn)算。同樣，在矢量分析中，若矢性函數(shù)采用坐標(biāo)表示式，則一個(gè)矢性函數(shù)就和三個(gè)數(shù)性函數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且有關(guān)矢性函數(shù)的一些運(yùn)算，例如計(jì)算極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分等亦可以轉(zhuǎn)化為對(duì)其三個(gè)坐標(biāo)函數(shù)的相應(yīng)運(yùn)算。LDAYtRyKfE7矢性函數(shù)極限的基本運(yùn)算公式(1

5、4>、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式(p11>、不定積分的基本運(yùn)算公式(p16>典型例題：教材p6例2、p10例4、p12例6、p13例7。習(xí)題一

6、微觀方面揭示場(chǎng)的一些重要特性；第三部分為第五節(jié)，主要介紹三種具有某種特性而又常見(jiàn)的矢量場(chǎng)。其中第二部分又為本章之重點(diǎn)。Zzz6ZB2Ltk2空間數(shù)量場(chǎng)的等值面和平面數(shù)量場(chǎng)的等值線以及矢量場(chǎng)的矢量線等，都是為了能夠形象直觀地體現(xiàn)所考察的數(shù)量或矢量在場(chǎng)中的宏觀分布情況而引入的概念。dvzfvkwMI1比如溫度場(chǎng)中的等溫面，電位場(chǎng)中的等位面，都是空間數(shù)量場(chǎng)中等值面的例子；而地形圖上的等高線即為平面數(shù)量場(chǎng)中等值線的例子。rqyn14ZNXI在矢量場(chǎng)中，矢量線可以體現(xiàn)場(chǎng)矢量的分布狀況，又能體現(xiàn)場(chǎng)矢量的走向。例如流場(chǎng)中

7、的流線，體現(xiàn)了流速的分布狀況和它們的走向。此外，由于矢量場(chǎng)中的每一點(diǎn)都有一條矢量線通過(guò)，因此對(duì)于場(chǎng)中的任一條曲線C<非矢量線），在其上的每一點(diǎn)也皆有一條矢量線通過(guò)，這些矢量線的全體，就構(gòu)成一曲面，稱(chēng)為矢量面，特別的，當(dāng)曲線C為封閉曲線時(shí)，矢量面就成為一管形曲面，稱(chēng)之為矢量管。EmxvxOtOco3有一種空間場(chǎng)<矢量場(chǎng)或者數(shù)量場(chǎng)）具有這樣的一種幾何特點(diǎn)：就是在場(chǎng)中存在一族充滿場(chǎng)所在空間的平行平面，場(chǎng)在其中每一個(gè)平面上的分布，都是完全相同的<若是矢量場(chǎng)，其場(chǎng)矢量同時(shí)也平行于這些平面）。對(duì)于這種場(chǎng)，只要知道場(chǎng)在其

8、中任一平面的中的特性，則場(chǎng)在整個(gè)空間里的特性就知道了，因此，可以將這種場(chǎng)簡(jiǎn)化到這族平面中的任意一個(gè)平面上來(lái)研究，因而，也把這種場(chǎng)稱(chēng)為平行平面場(chǎng)。在平行平面場(chǎng)中，通常為了研究19/19方便，通常取所研究的這一個(gè)平面為xoy平面。此時(shí)，在平行平面場(chǎng)中，場(chǎng)矢量就可以表示成為平面矢量，在平行平面數(shù)量場(chǎng)中，其數(shù)量就可以表示成為二元函數(shù)，并且這樣的研究結(jié)果適用于任何一塊與xoy面平行的平面。SixE2yXPq5典型例題：習(xí)題