橢圓型方程有限差分法.doc

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1、第4章橢圓型方程的有限差分法§2一維差分格式1、用積分插值法導(dǎo)出逼近微分方程的差分格式。解：考慮在[a,b]內(nèi)任一小區(qū)間，將上式在此區(qū)間上積分得或（1.1）其中，（1.2）特別地，取為對(duì)偶單元，則。將（1.2）改寫成，再沿積分，得，利用中矩形公式，得（1.3）又（1.4）（1.5）（1.6）將（1.3）~（1.5）代入（1.1），即得微分方程的差分格式。如果系數(shù)p,q,r以及右端f光滑，則可用中矩形公式計(jì)算得▌2、導(dǎo)出對(duì)的逼近階。解：，，記，則逼近階為。▌§3矩形網(wǎng)的差分格式1、用積分插值法構(gòu)造逼近方程（*）的第一邊值問題的五點(diǎn)差分格式，這里解：考慮xy平面上一有界區(qū)域G

2、，其邊界為分段光滑曲線，且滿足第一邊值條件：取定沿x軸和y軸方向上的步長，并作對(duì)偶剖分。記，,作兩族與坐標(biāo)軸平行的直線，其交點(diǎn)屬于G內(nèi)部者為對(duì)偶剖分的內(nèi)點(diǎn)，直線與邊界的交點(diǎn)為對(duì)偶剖分的界點(diǎn)。對(duì)于任一正則內(nèi)點(diǎn)，考慮對(duì)偶剖分的網(wǎng)點(diǎn)：，，，，用表示以A,B,C,D為頂點(diǎn)的矩形，其內(nèi)部區(qū)域記為，于上對(duì)（*）積分。利用中矩形公式有類似地有此外有將上面的積分近似式中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)用差商代替，代入（*）式，并同時(shí)除以，就得到（*）式的差分方程：▌1、用差分法求解邊值問題。解：令，則整個(gè)xy平面變成平面上的半帶形域，從而滿足的上述邊值問題轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式下滿足的邊值問題就可轉(zhuǎn)化為首先關(guān)于區(qū)

3、域G分別取等步長進(jìn)行網(wǎng)格劃分，令這樣就在半帶形區(qū)域上形成了網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，再對(duì)變量r的取值范圍作對(duì)偶剖分。作中心差分得：代入到原邊值問題中，則得到差分方程：