微觀金融學(xué)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)08.pdf

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1、第8章概率論基礎(chǔ)7基礎(chǔ)微積分7線性代數(shù)8概率論9隨機(jī)微積分10鞅11偏微分方程11數(shù)值方法本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)?理解概率的古典定義和測度定義及其基礎(chǔ)性質(zhì)；?理解隨機(jī)變量的測度定義以及它的分布函數(shù)和密度函數(shù)；?了解隨機(jī)變量的收斂方式和重要的收斂定理；?掌握數(shù)學(xué)期望的測度定義和性質(zhì)；?理解條件概率和數(shù)學(xué)期望的測度定義；?掌握條件數(shù)學(xué)期望的重要性質(zhì)，明確獨(dú)立性的涵義；?掌握隨機(jī)變量的重要數(shù)值特征，如方差、協(xié)方差、矩母函數(shù)和特征函數(shù)；?了解線性概率空間的概念和它同一般線性空間的聯(lián)系；?熟練掌握幾種重要分布的定義、數(shù)值特征以及它們在構(gòu)造金融模型中的應(yīng)用；?了解大數(shù)定理和中心極限定理。（微觀）金融理

2、論研究涉及的核心問題有兩個，一個是不確定性，另一個是時間或者說動態(tài)過程。而概率理論正是構(gòu)造不確定環(huán)境下金融模型的基本工具，而且它還是第九章隨機(jī)過程理論的基礎(chǔ)，因此它在金融分析和金融分析工具中的重要性是不言而喻的。我們這樣安排本章內(nèi)容：首先簡要地回顧初等概率論中概率和隨機(jī)變量的定義，然后用嚴(yán)格的測度語言重新表述一次；接下來考察在隨機(jī)分析中非常重要的數(shù)學(xué)期望和條件數(shù)①學(xué)期望的概念和相關(guān)性質(zhì)；然后進(jìn)一步考察隨機(jī)變量的主要數(shù)值特征。借助這些數(shù)值特征，②我們描述幾個在研究金融資產(chǎn)價格運(yùn)動時必須牢固把握的概率分布；最后則是對極限定理①對于有經(jīng)驗(yàn)的讀者，建議在學(xué)習(xí)完以上內(nèi)容后，直接進(jìn)入與之緊密聯(lián)

3、系的第十章——鞅。②按照國家現(xiàn)有的教學(xué)體系，大多數(shù)理工科的讀者對于密度函數(shù)、條件期望等初等概率論中的內(nèi)容相當(dāng)熟悉，但是考慮到后續(xù)微觀金融學(xué)及其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一個簡要探討。8.1概率公理和隨機(jī)變量8.1.1初等情形最早對于概率行為的研究興趣可能來源于賭博游戲。例如，早期的研究者很認(rèn)真地探討在拋硬幣猜正反的賭博中，連續(xù)開20次“花”的機(jī)會有多少？這里的概率一詞可以做多種理解：1．首先，它可以被解釋為基于某種實(shí)際測量的相對頻率（frequency）。例如，擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)某一面朝上的頻率最終會穩(wěn)定下來。用N表示試驗(yàn)總次數(shù)，用n表示某種情形發(fā)生的次數(shù)，則概率就可以定義為：nP=（8-

4、1）N顯然，這個相對頻率只有趨于穩(wěn)定，該種概率定義才有意義。歷史上有一些著名的例子可以作為這種解釋的腳注，如表8-1所示的系列擲硬幣試驗(yàn)。表8-1作為頻率意義上的概率實(shí)驗(yàn)者擲幣總次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)頻率蒲豐4,0402,0480.5068皮爾遜12,0006,0180.5016皮爾遜24,00012,0120.5005盡管這種定義相當(dāng)直觀，并且在工程中廣泛應(yīng)用，但是怎樣才算是所謂“大量”或者“穩(wěn)定”呢？這類詞匯是無法嚴(yán)格定義的，因此這種概率定義不符合嚴(yán)密的數(shù)學(xué)表述規(guī)范。2．古典（classical）定義。概率的古典定義可以視為給定前提下的一個先驗(yàn)的推理體系。我們知道，在擲硬幣的試驗(yàn)中：

5、（1）出現(xiàn)的結(jié)果將不止一個，但是所有可能發(fā)生的結(jié)果在事前都是可知的（非字即花，只有兩種可能）；課程是隨機(jī)過程，則這些準(zhǔn)備還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。如何自然地向讀者闡述濾波、鞅、測度變換這些重要的概念和方法，是我們面臨的挑戰(zhàn)。眾所周知，現(xiàn)代概率論以測度論（measuretheory）為基礎(chǔ)，但是完全掌握測度理論也并非必要。因此在復(fù)習(xí)（學(xué)習(xí)）概率論時采用什么樣的方法，我們?nèi)匀挥幸恍┮蓡?。如果從測度論著手研究，盡管會對以后深入學(xué)習(xí)隨機(jī)過程的一般理論有明顯的好處，但對于初學(xué)者來說，則顯得負(fù)擔(dān)太重；而從基本的初等概率開始，又會妨礙我們透徹地理解概率和隨機(jī)過程理論中的一些深層次問題。因而只能進(jìn)行一些必要的折

6、衷作為一種嘗試，希望能在這個過程中和讀者一起找到最適當(dāng)?shù)姆椒??！?92·第8章概率論基礎(chǔ)（2）在擲下去前，不知道哪一種結(jié)果會發(fā)生；（3）可以重復(fù)地?cái)S。有著類似特征的行為，被稱為隨機(jī)試驗(yàn)（stochasticexperiment）。只要再加上一點(diǎn)，即每種結(jié)果發(fā)生的可能性都相等，它就構(gòu)造出所謂“古典”的概率模型。古典概型可以明確地計(jì)算隨機(jī)試驗(yàn)中獲得某些結(jié)果的概率。例如，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出奇數(shù)點(diǎn)的概率是1/6+1/6+1/6=1/2。但是古典概型的前提是很嚴(yán)格的，它要求試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的等概率性，這就限制了它的應(yīng)用范圍。3．公理化定義。這需要先引入一些基本概念。上述隨機(jī)試驗(yàn)的每一個結(jié)

7、果（outcome），稱為樣本點(diǎn)（samplepoint），記為w；所有樣本點(diǎn)的總和被稱為樣本空間O（samplespace）；稱包含若干樣本點(diǎn)的集合為事件（event），每一個樣本點(diǎn)又可以稱為基本事件（basicevent）。稱空間O為必然事件（sureevent），稱不包含任何樣本點(diǎn)的空集?為不可能事件（impossibleevent）。定義8.1.1概率就是對于任一個事件A指定的一個數(shù)P(A)，它滿足：（1）P(A)≥0，即非負(fù)性；①（2）?P(A)=1，即規(guī)范