應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系課件.ppt

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1、主講教師：歐陽輝第六章彈性動(dòng)力學(xué)應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系前面我們研究了彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變，得到了平衡微分方程、運(yùn)動(dòng)微分方程、幾何方程等重要的方程。引入了六個(gè)應(yīng)力分量，六個(gè)應(yīng)變分量、三個(gè)位移分量。本章通過對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變的內(nèi)在聯(lián)系分析，建立應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系，即廣義虎克定律。應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系涉及到材料所固有的物理特性，所以這些關(guān)系又稱為物理方程?；咀冃螘r(shí)的胡克定律yx1）軸向拉壓胡克定律橫向變形2）純剪切胡克定律§6－1廣義虎克定律物體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)用六個(gè)應(yīng)力分量所確定，同一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)用六個(gè)應(yīng)變分量所確定。故應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系可以用下列解析形式的函數(shù)來表示應(yīng)力只取決于應(yīng)變狀態(tài)，與達(dá)到該狀態(tài)

2、的過程無關(guān)?x=?x(?x，?y，?z，?xy，?yz，?zx)?y=?y(?x，?y，?z，?xy，?yz，?zx)…….?zx=?zx(?x，?y，?z，?xy，?yz，?zx)考慮小變形假設(shè)，應(yīng)變分量都是微量，故將上面的式子展開成麥克勞林級(jí)數(shù)。略去二次以上的項(xiàng)，可以得到可以知道在彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的每一個(gè)應(yīng)力分量都是六個(gè)應(yīng)變分量的線性函數(shù)。根據(jù)假設(shè)：（1）無初應(yīng)力（2）無熱交換（3）動(dòng)力系統(tǒng)速度、加速度不考慮（4）線性彈性假設(shè)對(duì)于線性彈性材料，應(yīng)力與應(yīng)變是線性關(guān)系?x=c11?x+c12?y+c13?z+c14?xy+c15?yz+c16?zx?y=c21?x+c22?y+c23?z+

3、c24?xy+c25?yz+c26?zx?z=c31?x+c32?y+c33?z+c34?xy+c35?yz+c36?zx?xy=c41?x+c42?y+c43?z+c44?xy+c45?yz+c46?zx?yz=c51?x+c52?y+c53?z+c54?xy+c55?yz+c56?zx?zx=c61?x+c62?y+c63?z+c64?xy+c65?yz+c66?zx系數(shù)cmn共36個(gè)取決于材料彈性性質(zhì)，與坐標(biāo)系選取有關(guān)可以得出彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的每一個(gè)應(yīng)力分量都是六個(gè)應(yīng)變分量的線性函數(shù)，即為廣義虎克定律。系數(shù)共36個(gè)，稱為彈性常數(shù)。它們是材料彈性性質(zhì)的表征，由均勻性假設(shè)可以知道，系數(shù)與

4、點(diǎn)的位置沒有關(guān)系?？梢宰C明，對(duì)于各向異性體，36個(gè)彈性常數(shù)中只有21個(gè)是獨(dú)立的；對(duì)于各向同性體只有3個(gè)彈性常數(shù)，其中只有兩個(gè)是獨(dú)立的。（D）稱為彈性矩陣，將應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系寫成矩陣形式：各向異性效應(yīng)式中：{?}為應(yīng)力列陣；{?}為應(yīng)變列陣；[D]、[A]為彈性矩陣。有36個(gè)彈性常數(shù)。或1、極端各向異性任何兩個(gè)方向的彈性性質(zhì)都互不相同。對(duì)于極端各向異性體來說，由彈性力學(xué)可知：[D]、[A]為對(duì)稱矩陣，即有cij=cji；aij=aji。2、正交各向異性物體中存在這樣一個(gè)平面，在任意兩個(gè)與此平面對(duì)稱的方向上，物體的彈性都相同。該平面稱為彈性對(duì)稱面，一般有3個(gè)這樣的彈性對(duì)稱面。對(duì)于正交各向異性

5、體，由于對(duì)稱關(guān)系（正應(yīng)力分量只產(chǎn)生線應(yīng)變，不產(chǎn)生剪應(yīng)變）。因此，彈性矩陣中的36個(gè)彈性常數(shù)中，有24個(gè)為0，在剩下的12個(gè)只有9個(gè)是獨(dú)立的。因此，36個(gè)彈性常數(shù)中只有21個(gè)是獨(dú)立的。4、橫觀各向異性（如層狀結(jié)構(gòu)巖體）物體中某一平面內(nèi)的各方向彈性性質(zhì)相同（各向同性面），而垂直此面方向的彈性性質(zhì)不同。因此，對(duì)于橫觀各向異性體來說，彈性矩陣中的36個(gè)彈性常數(shù)中，只有5個(gè)是獨(dú)立的，即：E??、E┴、μ??、μ┴、G。5、各向同性物體內(nèi)任一點(diǎn)任何方向的彈性都相同。因此，對(duì)于各向同性體來說，彈性矩陣中的36個(gè)彈性常數(shù)中，只有2個(gè)是獨(dú)立的，即：E、μ?！?－2各向同性體的廣義虎克定律由各向同性的性質(zhì)，

6、可以知道在任何方向的彈性性質(zhì)都相同，故各個(gè)方向上的應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系相同。本節(jié)要證明各向同性體只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。首先證明，各向同性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力主軸的方向是與該點(diǎn)的應(yīng)變主軸方向相重合的。證明：設(shè)1、2、3軸是彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變主軸，則對(duì)應(yīng)的剪應(yīng)變?yōu)榱恪?2‘1’133‘O由廣義虎克定律可以得到：為該點(diǎn)的主應(yīng)變。（對(duì)應(yīng)于1、2、3軸）將坐標(biāo)系繞2軸轉(zhuǎn)180，得到坐標(biāo)軸1’，2‘，3’-1n30m30l30n21m20l20n10m1-1l1321新坐標(biāo)軸o1‘2’3‘也指向應(yīng)變主軸的方向，剪應(yīng)變也等于零。由各向同性，彈性常數(shù)不隨方向的改變而改變，則有：為該點(diǎn)的主應(yīng)變。（對(duì)應(yīng)于1’、

7、2’、3’軸）由轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力分量的變換公式：由轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)變分量的變換公式：代入可得：上式成立，必須要有：同理可以證明：說明1、2、3軸是應(yīng)變主軸，則對(duì)于這些軸的剪應(yīng)力也等于零，換言之，1、2、3軸也是應(yīng)力主軸。于是得到證明，對(duì)各向同性的彈性體內(nèi)任一點(diǎn)，當(dāng)某軸為應(yīng)變主方向時(shí)，同時(shí)也為其應(yīng)力主方向，即應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸重合?，F(xiàn)在來確定各向同性材料獨(dú)立的彈性常數(shù)的個(gè)數(shù)，設(shè)所取的坐標(biāo)為三個(gè)主軸方向，由廣義虎克定律可以得到：表示在j軸方向的單位主