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1、1一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：分式線性變換及其映射特點(diǎn)分式線性變換與初等函數(shù)相結(jié)合，求一些簡單區(qū)域之間的映射2二、內(nèi)容提要共形映射分式線性映射一一對應(yīng)性保角性保圓性幾個(gè)初等函數(shù)構(gòu)成的映射分式線性映射的確定對確定區(qū)域的映射保對稱性冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)31.的幾何意義正向之間的夾角.4的一條有向光滑曲線之間的夾角.52)轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關(guān).3)保角性方向不變的性質(zhì),此性質(zhì)稱為保角性.夾角在其大小和方向上都等同于經(jīng)過64）伸縮率方向無關(guān).所以這種映射又具有伸縮率的不變性.72.共形映射（保角映射）也稱為第一類共形映射.僅保持夾角的絕對值不變而方向相反的映射
2、,稱為第二類共形映射質(zhì):(1)保角性;(2)伸縮率不變性.8稱為分式線性映射.任一分式線性映射都可看成是由下列三種基本的分式映射復(fù)合而成:3.分式線性映射9分式線性映射的性質(zhì)1）分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上一一對應(yīng).2）分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保角性.102.如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那末它就映射成半徑為有限的圓周;如果有一個(gè)點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn),那末它就映射成直線.分式線性映射將擴(kuò)充z平面上的圓周映射成擴(kuò)充w平面上的圓周,即具有保圓性.3）分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上具有保圓性注意：1.此時(shí)把直線看作是經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓周.114）分式線性映射具有保
3、對稱性.這一性質(zhì)稱為保對稱性.124.唯一決定分式線性映射的條件交比不變性13判別方法:對確定區(qū)域的映射在分式線性映射下,C的內(nèi)部不是映射成方法1在分式線性映射下,如果在圓周C內(nèi)任取若繞向相反,則C方法214圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所2)當(dāng)二圓周上有一點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),這二圍成的區(qū)域.3)當(dāng)二圓交點(diǎn)中的一個(gè)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映成角形區(qū)域.1)當(dāng)二圓周上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí),這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域.分式線性映射對圓弧邊界區(qū)域的映射:155.幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射映射特點(diǎn):把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射
4、成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域,但張角變成為原來的n倍.16特殊地:因此將角形域的張角拉大（或縮小）時(shí)，就可利用冪函數(shù)所構(gòu)成的共形映射.01700如果要把帶形域映射成角形域,常利用指數(shù)函數(shù).0特殊地:0映射特點(diǎn):18三、典型例題解1利用分式線性映射不變交比和對稱點(diǎn)19由交比不變性知20解2由對稱點(diǎn)的不變性知，利用不變對稱點(diǎn)21解3將所求映射設(shè)為利用典型區(qū)域映射公式22例2求一個(gè)分式線性映射它將圓映成圓,且滿足條件解因映成的映射為2324例3求一個(gè)分式線性映射它將圓映成圓，且滿足條件解25與互為反函數(shù)，26故27解28例5試證明在映射下,互相正交的直線族與依此映射成互相正交的
5、直線族與圓族證29由于過原點(diǎn)的直線與以原點(diǎn)為心的圓正交，故命題得證.[證畢]30例6試將如圖所示的區(qū)域映射到上半平面.由分式線性映射的保圓性知：將鉛直帶形域31為所求映射.32放映結(jié)束，按Esc退出.33
