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《級(jí)數(shù)的收斂性課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、寄語孝、悌、忠、信衡量人生的尺度禮、義、廉、恥1第一節(jié)、級(jí)數(shù)的收斂性本章內(nèi)容：第二節(jié)、正項(xiàng)級(jí)數(shù)第十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第三節(jié)、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)第十二章3級(jí)數(shù)的收斂性一、級(jí)數(shù)的概念二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件四、柯西審斂原理第一節(jié)第十二章4一、級(jí)數(shù)的概念引例1.用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積A.設(shè)a0表示即內(nèi)接正三角形面積,an表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正5引例2：一尺之棒，第一次去其一半，第二次再去所余之半，如此分割下去問：1、分割n次共去棒長多少？2、無
2、限分割下去，共去棒長多少？解：把所去之半排列起來：此是公比為q=的等比數(shù)列6定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無窮級(jí)數(shù)，其中第n項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱S為級(jí)數(shù)的和,記作則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.(通項(xiàng)）.7當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).顯然部分和數(shù)列級(jí)數(shù)是否收斂即8例1.討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為92).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時(shí),等比級(jí)數(shù)收斂;時(shí),等比級(jí)數(shù)發(fā)散.則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.10例2：判斷下列級(jí)數(shù)
3、的斂散性此為等比級(jí)數(shù)，公比該級(jí)數(shù)收斂。解：原式＝此為等比級(jí)數(shù)，公比該級(jí)數(shù)發(fā)散。解：原式＝11例3.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和12解所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和13例4.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為14二、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)c所得級(jí)數(shù)也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.說明:級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.15性質(zhì)2.設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:令則這說明級(jí)數(shù)也收斂,其和為16說明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二
4、級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.(用反證法可證)收斂。17性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證:將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)18性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意:收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如19例5.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:考慮加
5、括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散?,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.20例621例722三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:可見:若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.23注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.事實(shí)上,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.24例8.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說明級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.25因進(jìn)行拆項(xiàng)相消這說明原級(jí)數(shù)收斂,其和為(2)26這說明原級(jí)數(shù)收斂,其和為3.(3)27的充要條件是:四、柯西審斂原理定理.有證:設(shè)所給級(jí)數(shù)部分和數(shù)列為因?yàn)樗?利用數(shù)列的柯西審斂原理即得本定理的結(jié)論.2
6、8例9.解:有利用柯西審斂原理判別級(jí)數(shù)29當(dāng)n﹥N時(shí),都有由柯西審斂原理可知,級(jí)數(shù)30作業(yè)P51(1),(3),(5);2;4;5;7(1),(3).31
