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1、第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)§1一致收斂性設(shè)是一列定義在同一數(shù)集E上的函數(shù)，稱為定義在E上的函數(shù)列，簡記為{fn}或fn,n=1,2,...設(shè)x0∈E,將x0代入上述函數(shù)列，可得數(shù)列一、函數(shù)列及其一致收斂性若此數(shù)列收斂，則稱x0為函數(shù)列(1)的收斂點，若此數(shù)列發(fā)散，則稱函數(shù)列(1)在x0發(fā)散．使函數(shù)列(1)收斂的全體收斂點構(gòu)成的集合，稱為函數(shù)列(1)的收斂域．若函數(shù)列(1)在數(shù)集D?E上每一點都收斂，則稱函數(shù)列(1)在數(shù)集D上收斂．記極限函數(shù)為f,則有此極限的ε–N的定義是：對任何x∈D,任給的ε>0,存在N>0,使得當n>N時，總有
2、fn(x)–f(x)
3、<ε其中N既與ε有關(guān)也與x有
4、關(guān)．對于函數(shù)列，我們不僅要研究它在哪些點上收斂，而更重要的是要研究極限函數(shù)所具有的解析性質(zhì)：即連續(xù)性、可微性、可積性．為此討論函數(shù)列的一致收斂性．定義1設(shè)函數(shù)列{fn}與函數(shù)f都在數(shù)集D上有定義,若對任給的ε>0,存在N>0,使得當n>N時，對任何x∈D,都有
5、fn(x)–f(x)
6、<ε則稱{fn}在D上一致收斂于f，記為若函數(shù)列{fn}在D上一致收斂，則必在D上每一點都收斂，反之，不一定成立．例2證明函數(shù)列在(–∞,+∞)上一致收斂．證對任給的ε>0,取N=1/ε,當n>N時，對任何x∈(–∞,+∞),都有所以函數(shù)列在(–∞,+∞)上一致收斂于0．函數(shù)列{fn}在D上不一致收斂于f
7、的定義：若存在ε0>0,對任何N>0,都存在n0>N，且存在x0∈D,使得
8、fn0(x0)–f(x0)
9、≥ε0則稱{fn}在D上不一致收斂于f．例證明函數(shù)列{xn}在(0,1)上不一致收斂于0．證取對任何正整數(shù)N，當n>N時，取則有所以{xn}在(0,1)上不一致收斂于0．定理13.1(函數(shù)列一致收斂的柯西準則)函數(shù)列{fn}在D上一致收斂于f的充要條件是：對任給的ε>0,存在N>0,使得當n,m>N時，對任何x∈D,都有
10、fn(x)–fm(x)
11、<ε．定理13.2函數(shù)列{fn}在D上一致收斂于f的充要條件是：設(shè){un(x)}是定義在數(shù)集E上的一個函數(shù)列，表達式二、函數(shù)項級數(shù)及其一致
12、收斂性稱為定義在E上的函數(shù)項級數(shù)，簡記為或稱為函數(shù)項級數(shù)(9)的部分和函數(shù)列．若x0∈E時，數(shù)項級數(shù)收斂，則稱x0為函數(shù)項級數(shù)(9)的收斂點，若此級數(shù)發(fā)散，則稱函數(shù)項級數(shù)(9)在x0發(fā)散．函數(shù)項級數(shù)(9)在數(shù)集D?E上每一點都收斂，則稱函數(shù)項級數(shù)(9)在D上收斂．級數(shù)(9)全體收斂點構(gòu)成的集合D稱為級數(shù)(9)的收斂域．級數(shù)(9)在收斂域D上的和S(x)稱為級數(shù)(9)的和函數(shù)．記為即函數(shù)項級數(shù)(9)的一致收斂性定義如下：定義2設(shè){Sn(x)}是函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的部分和函數(shù)列．若{Sn(x)}在數(shù)集D上一致收斂于函數(shù)S(x)，則稱函數(shù)項級數(shù)∑un(x)在數(shù)集D上一致收斂于函數(shù)S(x
13、)，或稱∑un(x)在D上一致收斂．由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性是由其部分和函數(shù)列的一致收斂性來定義的，所以由函數(shù)列一致收斂的定理可推出相應(yīng)的函數(shù)項級數(shù)的定理：定理13.3(一致收斂的柯西準則)函數(shù)項級數(shù)∑un(x)在D上一致收斂的充要條件是：對任給的ε>0,存在N>0,使得當m>n>N時，對任何x∈D,都有
14、Sm(x)–Sn(x)
15、<ε．或推論函數(shù)項級數(shù)∑un(x)在D上一致收斂的必要條件是：函數(shù)列{un(x)}在D上一致收斂于零．設(shè)函數(shù)項級數(shù)∑un(x)在D上的和函數(shù)為S(x),稱Rn(x)=S(x)–Sn(x)為函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的余項．定理13.4函數(shù)項級數(shù)∑un(x)在D
16、上一致收斂于S(x)的充要條件是例4函數(shù)項級數(shù)的收斂域為(-1,1)，其和函數(shù)為級數(shù)在[-a,a](a<1)上一致收斂于而在(-1,1)上不一致收斂于證級數(shù)的部分和函數(shù)為由此可得級數(shù)∑xn在[-a,a]上一致收斂．但在(-1,1)上由此可知級數(shù)∑xn在(-1,1)上不一致收斂．定理13.5（魏爾斯特拉斯判別法）設(shè)函數(shù)項級數(shù)∑un(x)定義在數(shù)集D上，若對一切x∈D，有
17、un(x)
18、≤Mn,n=1,2,...且正項級數(shù)∑Mn收斂，則函數(shù)項級數(shù)∑un(x)在數(shù)集D上一致收斂．此判別法也稱為M判別法或優(yōu)級數(shù)判別法．稱級數(shù)∑Mn為級數(shù)∑un(x)的優(yōu)級數(shù)．三、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別法例5
19、函數(shù)項級數(shù)在(-∞,+∞)上一致收斂定理13.6（阿貝爾判別法）設(shè)⑴∑un(x)在區(qū)間I上一致收斂；⑵對每一個x∈I，{vn(x)}是單調(diào)的；⑶{vn(x)}在I上一致有界，即存在M>0,使得對任何x∈I，
20、vn(x)
21、≤M,n=1,2,...則函數(shù)項級數(shù)∑un(x)vn(x)在數(shù)集I上一致收斂．定理13.7（狄利克雷判別法）設(shè)⑴∑un(x)的部分和函數(shù)列在I上一致有界；⑵對每一個x∈I，{Un(x)}是單調(diào)的；⑶{vn(x)}在I上一致收斂于0，則函數(shù)項
