群表示理論ppt課件.ppt

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1、2.1群的矩陣表示2.2舒爾引理2.3表示矩陣元的正交性定理2.4表示的構(gòu)造2.5基函數(shù)的性質(zhì)2.6表示的特征標(biāo)2.7群元空間2.8正規(guī)表示2.9完全性關(guān)系2.10表示的直積2.11直積群的表示第二章群表示理論定義：群G的矩陣表示，就是一個(gè)與群G同態(tài)的方知陣群．也就是說，對(duì)于群G的每一個(gè)元A，對(duì)應(yīng)著方矩陣群的一個(gè)方矩陣D(A)，并且D(A)D(B)=D(AB)(2.1-l)對(duì)于群G中的每一個(gè)A及B都成立．若知陣群與群G是同構(gòu)關(guān)系，那么這個(gè)表示就稱作確實(shí)表示；若二者是同態(tài)關(guān)系，群G的元多于矩陣群的元，那么，群G的幾個(gè)元就對(duì)應(yīng)

2、于一個(gè)相同的矩陣，這種表示就稱作不確實(shí)表示．后面還會(huì)看到矩陣群大于群G的同態(tài)關(guān)系．群G的表示記作DG；,矩陣的行（或列）數(shù)l稱作表示的維數(shù)．由定義可知：(l)D(E)=I0,I0是l×l的單位矩陣；(2.1-2)(2)D(A-1)＝[D(A)]-1.(2.1-3)一個(gè)群的矩陣表示必然自動(dòng)地就是其子群的一個(gè)矩陣表示，簡稱為“表示”.§2.1群的矩陣表示例在第一章中3×3的矩陣群d3群與正三角形的對(duì)稱群D3群同構(gòu)，因此，d3群的各元就是D3群的一個(gè)三維的確實(shí)表示．即第一章還給出了六個(gè)2×2矩陣組成的群.該群與d3群同構(gòu)，因而也

3、與D3群同構(gòu)，所以是D3群的一個(gè)二維表示.由于D3群與C3V群同構(gòu)，而當(dāng)用坐標(biāo)變換來表示C3V群的操作時(shí)，就得到了D3群的一個(gè)三維表示，即：D3群的一個(gè)一維表示是要提出的，那就是由僅有一個(gè)元的矩陣形成的表示，即D(E)=D(A)=D(B)＝…=(1)這個(gè)表示稱作恒等表示（平庸、單位、顯然表示）．任何一個(gè)群都有這么一個(gè)恒等表示．可見，任意一個(gè)群，都有無限多個(gè)表示，這些表示都可由若干個(gè)基本的表示形成，而每一個(gè)群的基本表示的個(gè)數(shù)卻往往是有限的．等價(jià)表示與幺正表示（1）等價(jià)表示相似變換有一個(gè)l維的方矩陣M，若用一個(gè)非奇異的l×l矩

4、陣S進(jìn)行變換M'=S-1MS(2.1-4)那么M’就稱作M的相似變換.等價(jià)表示兩個(gè)以相似變換聯(lián)系起來的表示稱為等價(jià)表示．記作DG~DG’．由于矩陣之間的關(guān)系不受相似變換的影響，所以把一切等價(jià)的表示都認(rèn)為是相同的表示．要證明對(duì)于群G的一個(gè)表示DG進(jìn)行相似變換后得到的DG’仍為群G的一個(gè)表示．即證明，當(dāng)D(A)D(B)=D(C)時(shí)，D’(A)D’(B)=D’(C)亦成立．其中A，B是群G中的任意元，C=AB.證明：根據(jù)定義D’(A)D’(B)=(S-1D(A)S)(S-1D(B)S)=S-1D(A)D(B)S=S-1D(C)S

5、=D’(C)例：將d3群的各元（D3群的表示），用幺正矩陣作相似變換，得到新的表示為d3群：(2)幺正表示幺正矩陣如果一個(gè)矩陣U的逆U-1等于矩陣U的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣?*,U就稱作幺正矩陣．由于?*=U+,，所以當(dāng)U-1=U+時(shí)，U就是幺正矩陣.任何一個(gè)實(shí)正交矩陣R是幺正的．因?yàn)镽是正交的，所以，由于R是實(shí)的，所以(2.1-5)幺正表示若群G的一個(gè)矩陣表示中，所有的矩陣都是幺正的，那么這個(gè)表示就稱為群G的一個(gè)幺正表示．對(duì)于幺正表示，D(A-1)=D(A)+成立．因?yàn)閷?duì)于幺正表示，D(A)D(A)+=I0對(duì)任意G中的A成立，而

6、已知D(A)D(A-1)=I0，于是，D(A-1)=D(A)+(2.1-6)定理一有限群的任何非奇異的矩陣表示，都可以通過相似變換變成幺正的矩陣表示．證明：只需指出對(duì)群G的任何非奇異的矩陣表示，總存在相似變換矩陣S使之成為幺正表示即可.證明分三步進(jìn)行．令g階群的表示D(Al),D(A2)，…，D(Aμ)，…，D(Ag)記作Al,A2，…，Aμ，…，Ag.第一步：作一個(gè)矩陣H(2.1-7)因?yàn)?2.1-8)所以，H是厄米矩陣．由于任何厄米矩陣都可以通過一個(gè)幺正的相似變換變?yōu)閷?duì)角矩陣，因此，存在一個(gè)幺正矩陣U，使為對(duì)角矩陣．而

7、(2.1-9)第二步：的所有對(duì)角元都是實(shí)數(shù)而且是正的．因?yàn)?2.1-10)只有當(dāng)對(duì)一切μ全部為零時(shí)，才能為零．如果這樣，對(duì)于一切μ，表示矩陣Aμ都將有一整行（第k行）為零，這與非奇異表示的前提不合，所以的任一對(duì)角元都不可能為零，是實(shí)數(shù)且是正的．于是，可以定義兩個(gè)實(shí)的對(duì)角矩陣D1和D2:(2.1-11)它們滿足(2.l-12)其中I0為單位矩陣．第三步：證明UD1就是使表示矩陣Aλ變成幺正表示的變換矩陣．現(xiàn)在證明這就證明了新的表示矩陣確是幺正矩陣，定理得證.證明過程中用到了重排列定理.以后討論群的表示時(shí)，只討論幺正表示.定理

8、二若群G的兩個(gè)幺正表示DG和DG’是等價(jià)的，那么，必然存在一個(gè)幺正矩陣U，使D’(R)=U-1D(R)U證明：已知DG和DG’等價(jià)，必存在一個(gè)非奇異的矩陣S，使D’(R)=S-1D(R)S，顯然D’(R-1)=S-1D(R-1)S，上式兩邊取厄米共軛后，得D’(R-1)+=S+D(R-1)+(S-1)+