有趣地數(shù)學(xué)游戲.docx

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1、實數(shù)、超實數(shù)和博弈游戲：數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)之美（一）一個博弈游戲讓我們來玩一個游戲。下面有五行石子，白色的石子都是我的，黑色的石子都是你的。我們輪流拿走一個自己的石子，并且規(guī)定如果一個石子被拿走了，它后面的所有石子都要被扔掉。誰先沒有拿的了，誰就輸了。○●●○●●○●●○●○○●○●●○●○○○○●●●○●●●●比如說，如果你先走的話，你可以把第四行的第三個石子拿走，按規(guī)定第四行將會只剩下前面兩個石子：○●●○●●○●●○●○○●○●●○●○○○○●●●現(xiàn)在輪到我走了。我可以拿走第二行倒數(shù)第二個石子，于是整個棋局變成了這樣：○●●○●●○●●○●

2、○○●○●●○○○○●●●現(xiàn)在，假如說你拿走了第二行中的第一個石子（于是第二行就沒了），那么我就贏定了。我可以拿走第一行中的第一個石子，從而讓整個棋局只剩下后面三行：○○○○●●●這三行中有四個白石子，有三個黑石子，并且每一行都是同種石子。于是整個局面完全變成了一個拼石子個數(shù)的游戲，我只需要一個一個地拿走白色石子，你必然將會率先無路可走。受此啟發(fā)，我們自然地想到了一種刻畫棋局的方式：把每個白色石子記作+1，把每個黑色石子記作-1。于是○○○○+●●+●=4–2–1=1，結(jié)果是一個正數(shù)，這就表明該局面下我將必勝，即使此時輪到我先走。你會發(fā)現(xiàn)

3、上面的說法很有道理。畢竟白色的石子越多，對我越有利，給我?guī)淼男в脼檎?；而黑色的石子會減小我獲勝的希望，當(dāng)然應(yīng)該給它賦上一個負(fù)的值。四白三黑算出來的結(jié)果為正1，直觀意義就是我能以一步的優(yōu)勢獲勝。如果棋局是這樣：○○●●●●那么○○+●●●●=2–4=-2，是一個負(fù)數(shù)，這就意味著不管誰先走，你都能必勝，因為你能比我多走兩步。我們不妨把一個棋局對應(yīng)的數(shù)叫做棋局的“特征值”。特征值為正，就表明不管誰先走我都能必勝；特征值為負(fù)，就表明不管誰先走你都能必勝；而特征值的絕對值，則直觀地量化了勝負(fù)的懸殊。現(xiàn)在，考慮下面這個棋局：○○●●那么○○+●●=

4、2–2=0，這表明此時的情形介于“我必勝”和“你必勝”之間。事實上也是這樣——如果我先走你后走，你就贏定了；如果你先走我后走，我就贏定了。這是因為，這個棋局的特征值為0，雙方能夠走的步數(shù)相同，當(dāng)然誰后走誰就贏定了。真正有趣的事情出現(xiàn)了?？紤]下面的棋局：○●它的特征值應(yīng)該是多少呢？容易看出，它的特征值是一個正數(shù)，因為不管誰先走，顯然我都能贏。同時，它的特征值也應(yīng)該比1小，因為只有一個○要比○●贏得更爽一些。事實上，單看○●黑方確實無論如何都會輸，但在某些場合下，○后面的這個●能讓黑方喘上一口氣。比如下面這個棋局：○●●如果我先走，顯然你必勝

5、無疑。如果你先走呢？先走的人獲勝的難度更大，你可要好好想想策略。你可以拿走那個單獨成行的●，但當(dāng)我拿走○之后，你就得眼睜睜地看著自己剩下的那個●被一并收走。此時，你或許會意識到，你本來還能多走一步的，可惜這一步被浪費掉了。因此，你更好的做法就是，一上來先拿走○后面的●。運用這種策略，顯然你也會必勝無疑?？梢?，不管是我先走還是你先走，整個棋局對于你來說都是必勝的，從而有○●+●=○●–1<0，這再次說明了○●是一個小于1的數(shù)。那么，○●是否等于1/2呢？答案是肯定的，考慮下面這個棋局：○●○●●如果我先走，本質(zhì)上不同的走法只有一種，并且局面

6、將會立即變成剛才那種你必勝的情形，因而你將必勝。如果是你先走呢？拿走那個單獨成行的●會讓你提前鎖定敗局，更好的選擇則是像剛才一樣，先拿走某個○后面的●，為自己多贏得一步?，F(xiàn)在，石子只剩下了○●、○、●這么三行。那么，我應(yīng)該拿走哪一個○呢？拿走那個單獨成行的○會讓局面再次變回剛才那種你必勝的情形，更好的選擇則是拿走后面有●的○，這樣我便能讓你損失一步。掌握了這個技巧后，我就能做到必勝了。綜上所述，整個棋局是一個誰后走誰就贏定了的局面。于是○●+○●+●=0，也就是○●+○●–1=0，可以解得○●等于1/2。也就是說，在○●中，我將以半步的優(yōu)

7、勢獲勝。對應(yīng)地，●○就等于-1/2，此時你將以半步的優(yōu)勢獲勝。注意，目前并沒有任何理論告訴我們，這么加減是合理的。不過我們卻發(fā)現(xiàn)，這么加減出來的結(jié)果真的是對的。比如說，○●+○●+○●+●=1/2+1/2+1/2–1=1/2，而棋局○●○●○●●對于我來說真的就是必勝的局面！這背后一定有一個更深層次的原因：棋局之間的加減和數(shù)與數(shù)之間的加減一定存在著某些共通的地方。也就是說，為了解釋“為什么棋局的加法和數(shù)的加法如此之像”，我們需要證明，兩者具有完全相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。我們需要建立一個從棋局到實數(shù)的映射法則，然后說明全體棋局（或者全體棋局的一部分

8、）與全體實數(shù)（或者全體實數(shù)的一部分）是同構(gòu)的。正如Poincaré所說，詩歌的藝術(shù)在于給相同的東西取不同的名字，數(shù)學(xué)的藝術(shù)在于給不同的東西取相同的名字。兩個看似毫不相關(guān)的東西竟然是同構(gòu)的，這在