第四章--倒易點(diǎn)陣及晶體衍射方向.doc

《第四章--倒易點(diǎn)陣及晶體衍射方向.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、第四章倒易點(diǎn)陣及晶體衍射方向1.布拉格定律一定波長(zhǎng)的X射線或入射電子與晶體試樣相互作用,可以用布拉格定律來(lái)表征產(chǎn)生衍射的條件。圖4.1布拉格定律的幾何說(shuō)明如圖4.1,設(shè)平行電子束σ0入射到晶體中面間距為dhkl的晶體面網(wǎng)組(hkl),在人射波前SS'處,兩電子波位相相同,如果左邊一支波經(jīng)歷波程PA+AD=nλ，n為包括零的整數(shù),則兩支波離開(kāi)晶體后達(dá)到新波前TT'時(shí),將具有相同的位相,相干結(jié)果可以達(dá)到衍射極大;反之,若PA+AD≠nλ,則達(dá)到TT'時(shí),它們位相不同,不能相干得到衍射極大。由圖4.1可知，PA+

2、AD=2dhklsinθ=nλ(4.1)此即布拉格方程,n稱(chēng)為衍射級(jí)數(shù)。式(4.1)也可以寫(xiě)成:(4.1a)因?yàn)閐hkl/n=dnh,nk,hl，故可把n級(jí)(hkl)反射看成是與(hkl)平行但面網(wǎng)間距縮小n倍的、(nh,nk,nl)的一級(jí)反射。這樣,布拉格方程可以寫(xiě)成一般形式:(4.1a)還可以寫(xiě)成下述形式：(4.1b)只要滿足布拉格方程,就獲得了產(chǎn)生衍射極大的條件。式(4.1a)中dhkl為晶體中晶面組(hkl)的晶面間距；λ為入射電子束的波長(zhǎng)；θ為人射電子束方向相對(duì)于晶面(hkl)的掠射角。2.倒易點(diǎn)

3、陣2.1倒易點(diǎn)陣定義（1）倒易點(diǎn)陣：若已知晶體點(diǎn)陣的單位矢量a、b、c,可以定義倒易點(diǎn)陣的單位矢量a*、b*、c*，該點(diǎn)陣的方向矢量垂直于同名指數(shù)的晶體平面,它的大小等于同名指數(shù)晶面間距的倒數(shù),該點(diǎn)陣稱(chēng)為倒易點(diǎn)陣。（2）正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣和基矢量的相互關(guān)系：圖4.2正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣和基矢量的相互關(guān)系取一晶體單胞,如圖4.2,晶體點(diǎn)陣的單位矢量為a、b和c,相應(yīng)點(diǎn)陣的6個(gè)參數(shù)是a、b、c、α、β和γ。其晶體點(diǎn)陣的倒易點(diǎn)陣所具有的3個(gè)單位倒易矢量為a*、b*、c*。相應(yīng)的倒易點(diǎn)陣的6個(gè)參數(shù)是a*、b*、c*、α*

4、、β*和γ*。根據(jù)倒易點(diǎn)陣的定義可求出a*。其表達(dá)示為：式中的h100為晶體平行六面體單胞中垂直于(100)面的高OA。設(shè)OA與a的夾角為α。則以下兩個(gè)同名基矢的標(biāo)量積應(yīng)有如下結(jié)果:（a）正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣的同名基矢的點(diǎn)乘積等于1（4.2）倒易基矢長(zhǎng)度為:（4.3）（b）正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣的異名基矢之間是相互垂直的,即a*⊥b，a*⊥c。正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣的異名基矢的點(diǎn)乘積等于零。a*?b=a*?c=b*?a=b*?c=c*?a=c*?b=0(4.4)（c）定義晶體正點(diǎn)陣的單位基矢(a、b和c)與倒易點(diǎn)陣的單位基

5、矢(a*、b*和C*)之間有如下關(guān)系:（4.5）（4.6）其中V和V*分別是正點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣單胞的體積。倒易基矢a*在正點(diǎn)陣單胞基矢b、c構(gòu)成的平面法線方向,它的長(zhǎng)度等于這個(gè)平面族的面間距的倒數(shù)。同理，b*與c、a構(gòu)成的平面正交，c*與a、b構(gòu)成的平面正交,它們的長(zhǎng)度也分別等于這兩個(gè)平面族的面間距的倒數(shù)。正倒點(diǎn)陣單胞的體積V和V*分別等于a、b、c和a*、b*、c*的三重標(biāo)量積。(4.7)(4.8)由倒易基矢a*、b*、C*組成的倒易矢量是（4.9）它的端點(diǎn)是hkl倒易陣點(diǎn)。如h、k、l取遍所有整數(shù)值,即構(gòu)

6、成一個(gè)無(wú)窮盡的倒易點(diǎn)陣,正如在正空間中的端點(diǎn)處的陣點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)正點(diǎn)陣一樣。正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣有完全對(duì)應(yīng)的倒易關(guān)系。(3)正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣基矢之間的定量關(guān)系假設(shè)它們基矢的列矩陣間存在矩陣因子[M],其關(guān)系式表示如下:(4.10)等式兩邊分別右乘以正點(diǎn)陣的行矩陣[abc],則有上述等式右方最后一個(gè)矩陣為單元矩陣，可求出[M]并表示如下：（4.11）式中α、β、γ分別是晶體基軸b與c，c與a和a與b之間的夾角。將等式（4.10）兩邊同時(shí)左點(diǎn)乘以[M]的逆矩陣[M]-1，得到以下結(jié)果：等式兩邊同時(shí)右點(diǎn)乘以倒易點(diǎn)陣基矢

7、的行矩陣，有（4.12）進(jìn)一步解得：（4.13）式中。表4.1不同晶系的坐標(biāo)變換矩陣[M]及[M]-12.2倒易關(guān)系從式(4.2)和式(4.4)可以看出,正點(diǎn)陣單胞的基矢與倒易點(diǎn)陣單胞的基矢是完全對(duì)稱(chēng)的,兩者互為倒易關(guān)系。倒易點(diǎn)陣在晶體幾何方面的重要意義就在于它與正點(diǎn)陣間存在有一系列的倒易關(guān)系。分別從a、b和c與的標(biāo)量積得出:，，（4.14）它們是正點(diǎn)陣矢量r與倒易點(diǎn)陣矢量r*的標(biāo)量積:(n為任意整數(shù))的幾個(gè)特例,表示r在r*上的投影為零。所有與r*正交的正點(diǎn)陣矢量r都滿足這一關(guān)系,并都坐落在一個(gè)通過(guò)原點(diǎn)且

8、與r*正交的平面上。根據(jù)倒易點(diǎn)陣矢量的定義,h、k、l均為整數(shù),因此,(hkl)點(diǎn)陣平面的指數(shù)也必定是整數(shù)?？蓪⒄c(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣之間的關(guān)系歸納如下:(1)正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣互為倒易,即正點(diǎn)陣的倒易是倒易點(diǎn)陣。倒易點(diǎn)陣的倒易是正點(diǎn)陣,這一點(diǎn)可以通過(guò)式(4.5)、式(4.6)、式(4.7)和式(4.8)反映出來(lái)。(2)倒易點(diǎn)陣中的方向[hkl]*與正點(diǎn)陣中同名指數(shù)（hkl）正交（圖4.3），倒易原點(diǎn)到倒易點(diǎn)的距離。同樣