計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第7章ppt課件.ppt

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1、第七章曲線和曲面引言7.1曲線曲面基礎(chǔ)知識(shí)7.2三次樣條7.3幾種典型的曲線曲面介紹引言問題的提出：由離散點(diǎn)來近似地決定曲線和曲面，即通過測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得到一系列有序點(diǎn)列，根據(jù)這些點(diǎn)列構(gòu)造出一條光滑曲線。初等幾何平面：平面、圓柱面、球面自由變化的曲線和曲面：飛機(jī)、汽車的外形7.1曲線曲面基礎(chǔ)7.1.1曲線曲面的表示7.1.2插值和逼近樣條7.1.3連續(xù)性條件7.1.4樣條的描述7.1.1曲線曲面的表示曲線和曲面的表示分為：非參數(shù)形式(y=kx+b，f(x，y))參數(shù)形式p(t)=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t

2、))t∈[0，1]7.1.2插值和逼近樣條采用模線樣板法表示和傳遞自由曲線曲面的形狀稱為樣條。樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)條件。樣條曲面則可以用兩組正交樣條曲線來描述。曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點(diǎn)來指定曲線曲面的形狀時(shí)，形狀完全通過給定的型值點(diǎn)列。曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點(diǎn)來指定曲線曲面的形狀時(shí)，求出的形狀不必通過控制點(diǎn)列。插值與逼近求給定型值點(diǎn)之間曲線上的點(diǎn)稱為曲線的插值。將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線序列稱為控制多邊形或特征多邊形。圖8.2曲線的逼近7.1.3連續(xù)性條件

3、如何保證各曲線段在結(jié)合處的連續(xù)性？假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進(jìn)行描述：曲線段相連包括兩種意義上的連續(xù)性：參數(shù)連續(xù)性幾何連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性0階參數(shù)連續(xù)性：記作C0連續(xù)性，是指曲線的幾何位置連接，即1階參數(shù)連續(xù)性：記作C1連續(xù)性，指代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：2階參數(shù)連續(xù)性：記作C2連續(xù)性，指兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。參數(shù)連續(xù)性圖8.3曲線段的參數(shù)連續(xù)性幾何連續(xù)性0階幾何連續(xù)性，記作G0連續(xù)性，與0階參數(shù)連續(xù)性的定義相同，滿足：1階幾何連續(xù)性，記作G1連續(xù)性，指一階導(dǎo)數(shù)

4、在相鄰段的交點(diǎn)處的比值為常量2階幾何連續(xù)性，記作G2連續(xù)性，指相鄰曲線段在交點(diǎn)處的一階和二階導(dǎo)數(shù)的比值都是常量。7.1.4樣條描述n次樣條參數(shù)多項(xiàng)式曲線的方程：基矩陣：Ms幾何約束條件：G基函數(shù)(blengingfunction)，或稱混合函數(shù)。7.2三次樣條在此，介紹兩種三次樣條：自然三次樣條三次Hermite樣條給定n+1個(gè)點(diǎn)，可得到n個(gè)分段三次多項(xiàng)式曲線：7.2.1自然三次樣條(Spline)定義：給定n+1個(gè)型值點(diǎn)，現(xiàn)通過這些點(diǎn)列構(gòu)造一條自然三次參數(shù)樣條曲線，要求在所有曲線段的公共連接處均具有位置、一階和二階導(dǎo)

5、數(shù)的連續(xù)性，即自然三次樣條具有C2連續(xù)性。特點(diǎn)：只適用于型值點(diǎn)分布比較均勻的場(chǎng)合不能“局部控制”7.2.2三次Hermite樣條定義：假定型值點(diǎn)Pk和Pk+1之間的曲線段為p(t)，t∈[0，1]，給定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，則滿足下列條件的三次參數(shù)曲線為三次Hermite樣條曲線：Mh是Hermite矩陣。Gh是Hermite幾何矢量。三次Hermite樣條三次Hermite樣條曲線的方程為：三次Hermite樣條通常將TMh稱為Hermite基函數(shù)（或稱混合函數(shù)，調(diào)和函數(shù)）：三次Hermite樣條圖8.

6、4Hermite基函數(shù)將上式展開寫成代數(shù)形式為：其中還可將方程整理成如下形式：寫成坐標(biāo)分量形式則如下式：如果是平面曲線，則只有x和y分量。三次Hermite樣條特點(diǎn)可以局部調(diào)整，因?yàn)槊總€(gè)曲線段僅依賴于端點(diǎn)約束?；贖ermite樣條的變化形式：Cardinal樣條和Kochanek-Bartels樣條。Hermite曲線具有幾何不變性。7.3幾種典型的曲線曲面介紹Bezier曲線曲面B樣條曲線曲面有理樣條曲線曲面(NURBS)7.3.1Bezier曲線的定義Bezier曲線是參數(shù)多項(xiàng)式曲線，它由一組控制多邊形折線的頂點(diǎn)

7、唯一確定。如下圖所示，在各個(gè)控制多邊形的頂點(diǎn)中，只有第一個(gè)和最后一個(gè)在曲線上，其他的用來定義曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形狀。Bezier曲線的參數(shù)方程表示如下：Bernstein基函數(shù)具有如下形式：其中，Pk(xk,yk,zk)，k=0，1…n是控制多邊形的n+1個(gè)頂點(diǎn)，BEN(t)是Bernstein基函數(shù)；一次Bezier曲線(n=1)可見，一次Bezier曲線是連接兩個(gè)控制點(diǎn)的直線段。二次Bezier曲線(n=2，拋物線）三次Bezier曲線(n=3)其中，任何三次Bezier曲線都是由這４條曲線的線性組合而成Bezie

8、r曲線的生成繪制一段Bezier曲線Bezier曲線的拼接由于高次Bezier曲線設(shè)計(jì)較復(fù)雜，所以工程上常使用分段三次Bezier樣條曲線來描述，也就是將一段段的三次Bezier曲線首尾相連拼接起來。關(guān)鍵：保證連接處具有G1和G2連續(xù)性7.3.4Bezier曲面1．Bezier曲面定義利用兩組正交的Bezier曲線可生成Bezie