函數(shù)的間斷點(diǎn).pdf

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1、.函數(shù)間斷點(diǎn)求法兩個(gè)基本步驟1、間斷點(diǎn)（不連續(xù)點(diǎn)）的判斷在做間斷點(diǎn)的題目時(shí)，首要任務(wù)是將間斷點(diǎn)的定義熟記于心。下面我們一起看一下教材上間斷點(diǎn)的定義：2、間斷點(diǎn)類型的判斷找出函數(shù)的間斷點(diǎn)后，然后判斷間斷點(diǎn)的類型，主要通過間斷點(diǎn)的左右極限情況來劃分：（1）第一類間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)處的左右極限都存在．可以分為以下兩種：①可去間斷點(diǎn)：左右極限存在且相等；②跳躍間斷點(diǎn)：左右極限存在但不相等．（2）第二類間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)處的極限至少有一個(gè)不存在．經(jīng)常使用到的，有以下兩種形式的第二類間斷點(diǎn)：①無窮間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)的極限

2、為無窮大．..②振蕩間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)的極限不穩(wěn)定存在．?間斷點(diǎn)：是f(x)的間斷點(diǎn)，f(x)在點(diǎn)處的左右極限都存在為第一類間斷點(diǎn).f(x)至少有一個(gè)不存在，則是f(x)的第二類間斷點(diǎn).第一類間斷點(diǎn)中第二類間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)，振蕩間斷點(diǎn)等.下面通過一道具體的真題，說明函數(shù)間斷點(diǎn)的求法：函數(shù)的間斷點(diǎn)一、函數(shù)的間斷點(diǎn)設(shè)函數(shù)fx在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義．在此前提下，如果函數(shù)fx有下列三種情形之一：1．在xx0沒有定義；..2．雖在xx0有定義，但limfx不存在；xx03．雖在xx0有定義，且limfx存在

3、，但limfxfx0；xx0xx0則函數(shù)fx在點(diǎn)x0為不連續(xù)，而點(diǎn)x0稱為函數(shù)fx的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)．下面我們來觀察下述幾個(gè)函數(shù)的曲線在x1點(diǎn)的情況，給出間斷點(diǎn)的分類：2x1①yx1②yx1yy221111x11x在x1連續(xù)．在x1間斷，x1極限為2．x1，x1x1，x1③y④y1，x1x，x1yy221111x11x在x1間斷，x1極限為2．在x1間斷，x1左極限為2，右極限為1．11⑤y⑥ysinx1xy1x在x0間斷，x0極限不存在．像②③④這樣在x0點(diǎn)左右極限都存在1在x1　　，間斷l(xiāng)im。的間

4、斷，稱為第一類間斷，其中極限存在的x1x1②③稱作第一類間斷的可補(bǔ)間斷，此時(shí)只要令y12，則在x1函數(shù)就變成連續(xù)的了；④被稱作第一類間斷中的跳躍間斷．⑤⑥被稱作第二類間斷，其中⑤也稱作無窮間斷，..而⑥稱作震蕩間斷．就一般情況而言，通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0是函數(shù)fx的間斷點(diǎn)，但左極限fx00及右極限fx00都存在，那么x0稱為函數(shù)fx的第一類間斷點(diǎn)．不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn)．在第一類間斷點(diǎn)中，左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)．無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是

5、第二類間斷點(diǎn)．sinx,x0xf(x)a,x01xsinb,x0例1確定a、b使x在x0處連續(xù)．limf(x)limf(x)解：f(x)在x0處連續(xù)x0x0f(0)1sinxlimf(x)limxsinbblimf(x)lim1x0x0因?yàn)閤；x0x0x；f(0)a所以ab1時(shí)，f(x)在x0處連續(xù)．例2求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并進(jìn)行分類2x1f(x)1、x1分析：函數(shù)在x1處沒有定義，所以考察該點(diǎn)的極限．2x1limlim(x1)2x1x1x1解：因?yàn)椋玣(x)在x1處沒有定義所以x1是第一類可去間斷點(diǎn)．

6、1xsin,x0,f(x)x1,x0.2、分析：x0是分段函數(shù)的分段點(diǎn)，考察該點(diǎn)的極限．1limxsin0x0解：因?yàn)閤，而f(0)1所以x0是第一類可去間斷點(diǎn)．limf(x)總結(jié)：只要改變或重新定義f(x)在x0處的值，使它等于xx0，就可使函數(shù)在可去間斷點(diǎn)x0處連續(xù)．x1,x0,f(x)x1,x0.3、分析：x0是分段函數(shù)的分段點(diǎn)，且分段點(diǎn)左右兩側(cè)表達(dá)式不同，考察該點(diǎn)的左、右..極限．limf(x)lim(x1)1limf(x)lim(x1)1解：因?yàn)閤0x0；x0x0所以x0是第一類跳躍間斷點(diǎn)．1

7、f(x)arctan4、x分析：函數(shù)在x0處沒有定義，且左、右極限不同，所以考察該點(diǎn)的單側(cè)極限．11limf(x)limarctanlimf(x)limarctan解：因?yàn)閤0x0x2；x0x0x2所以x0是第一類跳躍間斷點(diǎn)．1xf(x)e5、1xlimf(x)lime解：因?yàn)閤0x0所以x0是第二類無窮間斷點(diǎn)1f(x)sin6、x1limf(x)limsinx0x0解：x極限不存在所以x0是第二類振蕩間斷點(diǎn)xf(x)7、求sinx的間斷點(diǎn)，并將其分類．解：間斷點(diǎn)：xk(k0,1,2,)xlim1x0s

8、inx當(dāng)x0時(shí)，因，故x0是可去間斷點(diǎn)．xlimxksin當(dāng)xk(k1,2,)時(shí)，因x，故xk(k1,2,)是無窮間斷點(diǎn)．小結(jié)與思考：本節(jié)介紹了函數(shù)的連續(xù)性，間斷點(diǎn)的分類．1xf(x)lim2nn1x1、求分析：通過極限運(yùn)算，得到一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)，找出分段點(diǎn)，判斷．..x1,1x10,x1f(x)1,x10,x1.limf(x)lim00limf(x)lim(x1)2解：因?yàn)閤1x1；x1x1所以x1是第一類跳躍間斷點(diǎn)limf(x)lim(