第6章統(tǒng)計決策與貝葉斯推斷ppt課件.ppt

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1、第6章統(tǒng)計決策與貝葉斯推斷理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系戴芳在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中存在兩大學(xué)派：經(jīng)典學(xué)派、頻率學(xué)派或抽樣學(xué)派貝葉斯學(xué)派：貝葉斯統(tǒng)計，其核心是貝葉斯推斷統(tǒng)計學(xué)家瓦爾德(A.Wald)把關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)和參數(shù)估計的經(jīng)典統(tǒng)計理論加以概括，將不確定意義下的決策科學(xué)也包括在統(tǒng)計學(xué)范圍之內(nèi)，于1939年創(chuàng)立了統(tǒng)計決策理論，該理論彌補(bǔ)了過去統(tǒng)計理論的缺陷。統(tǒng)計決策的顯著特點(diǎn)是：統(tǒng)計決策建立在統(tǒng)計分析和統(tǒng)計預(yù)測的基礎(chǔ)上，是一種定量決策。統(tǒng)計決策是在不確定情況下，應(yīng)用概率來進(jìn)行決策的計算和分析，是一種概率決策。6.1統(tǒng)計決

2、策決策問題的三個基本要素狀態(tài)集行動集行動空間損失函數(shù)依統(tǒng)計決策論的觀點(diǎn)，對決策有用的信息先驗(yàn)信息樣本信息決策問題的分類無數(shù)據(jù)（無樣本信息）決策問題統(tǒng)計決策問題貝葉斯決策問題一、基本概念1、損失函數(shù)描述當(dāng)未知量處于狀態(tài)而采取行動時所引起的損失，記為線性損失函數(shù)一、基本概念2、決策函數(shù)由樣本空間到行動空間的可測映射稱為決策函數(shù)。3、風(fēng)險函數(shù)稱為決策函數(shù)的風(fēng)險函數(shù)。設(shè)是一個決策函數(shù)，則損失函數(shù)關(guān)于樣本分布的數(shù)學(xué)期望平均損失愈小，決策函數(shù)愈好。風(fēng)險函數(shù)描述在未知量處于狀態(tài)而采取決策時所蒙受的平均損失。二

3、、常用的決策準(zhǔn)則1、一致最優(yōu)決策準(zhǔn)則則稱為決策函數(shù)類的一致最小風(fēng)險決策函數(shù)，或稱為一致最優(yōu)決策函數(shù)。定義設(shè)表示定義在樣本空間上取值于行動空間的某一決策函數(shù)類，若存在一個決策函數(shù)，使得對任意，都有2、最小最大（Minimax）決策準(zhǔn)則則稱為該統(tǒng)計決策問題的最小最大決策函數(shù)，相應(yīng)的風(fēng)險稱為最小最大風(fēng)險。定義對于一個統(tǒng)計決策問題，設(shè)表示定義在樣本空間上取值于行動空間的某一決策函數(shù)類。若有決策函數(shù)，使得3、貝葉斯決策準(zhǔn)則?先驗(yàn)信息與先驗(yàn)分布無論是在統(tǒng)計決策問題還是在統(tǒng)計推斷問題中總會包含未知量。為了對作

4、統(tǒng)計決策或者作統(tǒng)計推斷，樣本信息是必不可少的，因?yàn)樗淖钚滦畔?。除此之外，一些非樣本信息也可用于統(tǒng)計決策和統(tǒng)計推斷。這些非樣本信息主要來源于經(jīng)驗(yàn)或歷史資料。由于此類經(jīng)驗(yàn)或歷史資料大多存在于（獲取樣本的）試驗(yàn)之前，故稱這些非樣本信息為先驗(yàn)信息。統(tǒng)計學(xué)中有兩個主要學(xué)派：經(jīng)典（頻率）學(xué)派與貝葉斯學(xué)派。經(jīng)典學(xué)派認(rèn)為是未知參數(shù)；貝葉斯學(xué)派認(rèn)為是隨機(jī)變量，應(yīng)該用一個概率分布去描述的未知狀況。這個概率分布在抽樣之前就已存在，它是關(guān)于的先驗(yàn)信息的概率陳述。這個概率分布就稱為先驗(yàn)分布，用來表示。?貝葉斯公式與

5、后驗(yàn)分布稱為的后驗(yàn)分布。?先驗(yàn)風(fēng)險準(zhǔn)則與后驗(yàn)風(fēng)險準(zhǔn)則定義1：在給定的統(tǒng)計決策問題中，設(shè)為決策函數(shù)的風(fēng)險函數(shù)，為的先驗(yàn)分布，則平均風(fēng)險稱為決策的貝葉斯風(fēng)險。若在決策函數(shù)類中存在，使得則稱為決策函數(shù)類在貝葉斯（先驗(yàn)）風(fēng)險準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函數(shù)，簡稱貝葉斯決策函數(shù)或貝葉斯解。定義2：在給定的統(tǒng)計決策問題中，設(shè)為決策函數(shù)的損失函數(shù)，為的后驗(yàn)分布，則條件期望風(fēng)險稱為決策函數(shù)的貝葉斯后驗(yàn)風(fēng)險。若在決策函數(shù)類中存在，使得則稱為決策函數(shù)類在貝葉斯后驗(yàn)風(fēng)險準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函數(shù)，或稱其為貝葉斯后驗(yàn)型決策函數(shù)。例6.1

6、一位收藏家擬收購一幅名畫，這幅畫標(biāo)價為5000元。若這幅畫是真品，則值10000元；若是贗品，則一文不值。此外，買下一幅假畫或者沒有買下一幅真畫都會損害這位收藏家的名譽(yù)，其收益情況如下表采取的行動畫的狀態(tài)買不買真品+5000-3000贗品-60000現(xiàn)在，這位收藏家需要決定是買還是不買這幅畫？(1)如果收藏家有以下三種決策可供選擇：：以概率0.5買下這幅畫；：請一位鑒賞家進(jìn)行鑒定（已知該鑒賞家以概率0.95識別一幅真畫，以概率0.7識別一幅假畫），如果鑒賞家鑒定為真品就買下這幅畫；：肯定不買那么

7、，什么是這位收藏家的最小最大決策？（2）如果根據(jù)賣畫者以往的資料得知，發(fā)生的概率為0.75，發(fā)生的概率為0.25，那么這位收藏家是否應(yīng)買下這幅畫呢？（3）在（2）的條件下，這位收藏家為穩(wěn)妥起見，聘請一位鑒賞家做鑒定。已知鑒賞家以概率0.95識別一幅真畫，以概率0.7識別一幅假畫。如果鑒賞家說這幅畫是真品，那么這位收藏家是否應(yīng)買下這幅畫呢？這是一個決策問題，狀態(tài)集，為真品，為贗品,行動集表示“買”，表示“不買”，損失函數(shù)用矩陣可表示為統(tǒng)計決策中所說的損失可以理解為“該賺到而沒有賺到的錢”，“不該虧

8、而虧損的錢”或者“不該支付而支付的錢”。采用收益函數(shù)時，損失函數(shù)時，損失函數(shù)采用支付函數(shù)解：（1）對，對，對，計算結(jié)果表明，收藏家的最小最大決策為，即如果鑒賞家鑒定為真品就買下這幅畫，這一決策的最小最大風(fēng)險為1800元。根據(jù)先驗(yàn)分布，可分別算出行動，的平均損失，亦即，行動，的平均風(fēng)險，因?yàn)檫@是無數(shù)據(jù)決策問題，所以對比上述結(jié)果可知，采取行動為上策，即，收藏家應(yīng)該買下這幅畫。（2）由題意知，的先驗(yàn)分布為：(3)引入隨機(jī)變量由題意知：的先驗(yàn)分布為，由貝葉斯公式可得的后驗(yàn)分布這樣樣本空間，行動空間，所以