《貝葉斯決策》PPT課件

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1、第五章貝葉斯決策5.1貝葉斯決策問題在前一章中，我們把人與自然界（或社會(huì)）的博弈問題歸納為決策問題，它包含三個(gè)要素：狀態(tài)集；行動(dòng)集；損失函數(shù)。至今為止，可供決策的信息有：先驗(yàn)信息；試驗(yàn)信息或抽樣信息，其中的關(guān)鍵就是要確定一個(gè)可觀察的隨機(jī)變量X，其概率分布中恰好把它當(dāng)作未知參數(shù)。對(duì)上述兩種信息的使用情況，形成不同的決策問題。（1）僅使用先驗(yàn)信息的決策問題稱為無(wú)數(shù)據(jù)的決策問題。（2）僅使用抽樣信息的決策問題稱為統(tǒng)計(jì)決策問題（3）先驗(yàn)信息和抽樣信息都用的決策問題稱為貝葉斯決策問題。例5.1某工廠的產(chǎn)品每100件裝成一箱運(yùn)交顧客，在向顧客交貨前有如下兩個(gè)行動(dòng)的選擇：若

2、工廠選擇行動(dòng)，則可保證交貨時(shí)每件產(chǎn)品都是合格品，但因每件產(chǎn)品的檢查費(fèi)為0.8元，為此工廠要支付檢查費(fèi)80元，但顧客發(fā)現(xiàn)不合格品時(shí)，按合同不僅允許更換，而且每件要支付12.5元的賠償費(fèi)。若工廠從產(chǎn)品檢查部門發(fā)現(xiàn)，該廠產(chǎn)品的不合格品率沒有超過(guò)0.12的記錄，取U(0,0.12)為的先驗(yàn)分布，應(yīng)該如何決策？若該廠先在每箱中抽取兩件進(jìn)行檢查，然后再做決策，應(yīng)該如何決策？一般來(lái)說(shuō)，抽樣信息在決策中是很重要的信息，獲得此種信息的花費(fèi)也較大，應(yīng)予以重視和利用。我們約定，若已知(1)有一個(gè)可觀察的隨機(jī)變量X，其密度函數(shù)依賴于未知參數(shù)，且。(2)在參數(shù)空間上有一個(gè)先驗(yàn)分布(3)

3、有一個(gè)行動(dòng)集。在對(duì)做點(diǎn)估計(jì)時(shí)，一般??；在對(duì)做區(qū)間估計(jì)時(shí)，行動(dòng)a就是一個(gè)區(qū)間，的一切可能的區(qū)間構(gòu)成行動(dòng)集；在對(duì)作假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，只有兩個(gè)行動(dòng)：接受和拒絕。(4)在上定義了一個(gè)損失函數(shù)則說(shuō)一個(gè)貝葉斯決策問題給定了。5.2后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則一.后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)把損失函數(shù)對(duì)后驗(yàn)分布的期望稱為后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)，記為，即例5.3某工廠的產(chǎn)品每100件裝成一箱運(yùn)交顧客，在向顧客交貨前有如下兩個(gè)行動(dòng)的選擇：若工廠選擇行動(dòng)，則可保證交貨時(shí)每件產(chǎn)品都是合格品，但因每件產(chǎn)品的檢查費(fèi)為0.8元，為此工廠要支付檢查費(fèi)80元，但顧客發(fā)現(xiàn)不合格品時(shí)，按合同不僅允許更換，而且每件要支付12.5元的賠償費(fèi)。若工廠從產(chǎn)品

4、檢查部門發(fā)現(xiàn)，該廠產(chǎn)品的不合格品率沒有超過(guò)0.12的記錄，取U(0,0.12)為的先驗(yàn)分布，應(yīng)該如何決策？若該廠先在每箱中抽取兩件進(jìn)行檢查，然后再做決策，應(yīng)該如何決策？二.決策函數(shù)定義5.1在給定的貝葉斯決策問題中，從樣本空間到行動(dòng)集上的一個(gè)映射稱為該決策問題的一個(gè)決策函數(shù)。所有從到上的決策函數(shù)組成的類稱為決策函數(shù)類，用表示。注：在貝葉斯決策問題中，我們面臨的是決策函數(shù)類D，要在D中選取決策函數(shù)，使其后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小。三.后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則定義在給定的貝葉斯決策問題中，是其決策函數(shù)類，則稱為決策函數(shù)的后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)。若在決策函數(shù)類D中存在這樣的決策函數(shù)，它在D中具有最小的后驗(yàn)

5、風(fēng)險(xiǎn)，即則稱為后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下的最優(yōu)決策函數(shù)，或稱貝葉斯決策函數(shù)或貝葉斯解。例5.5設(shè)是來(lái)自正態(tài)分布的一個(gè)樣本，參數(shù)的先驗(yàn)分布為共軛先驗(yàn)分布，其中已知，損失函數(shù)為求參數(shù)的貝葉斯估計(jì)例5.6在新的止痛劑的市場(chǎng)占有率的估計(jì)問題中已給出損失函數(shù)藥廠廠長(zhǎng)對(duì)市場(chǎng)占有率無(wú)任何先驗(yàn)信息。在市場(chǎng)調(diào)查中，在n個(gè)購(gòu)買止痛劑的顧客中有x個(gè)人買了新的止痛劑，試在后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下對(duì)作出貝葉斯估計(jì)。例5.7設(shè)樣本x只能來(lái)自密度函數(shù)或中的一個(gè)，為了研究該樣本到底來(lái)自哪個(gè)分布，我們來(lái)考慮如下簡(jiǎn)單假設(shè)的檢驗(yàn)問題：損失函數(shù)用矩陣表示如下：5.3常用損失函數(shù)下的貝葉斯估計(jì)一.平方損失函數(shù)下的貝葉斯估計(jì)

6、定理5.1在平方損失函數(shù)下，的貝葉斯估計(jì)為后驗(yàn)均值，即定理5.2在加權(quán)平方損失函數(shù)下，的貝葉斯估計(jì)為定理5.3在參數(shù)向量的場(chǎng)合下，對(duì)多元二次損失函數(shù)的貝葉斯估計(jì)為后驗(yàn)均值向量：例5.8設(shè)是來(lái)自泊松分布的一個(gè)樣本，若的先驗(yàn)分布用其共軛先驗(yàn)分布。試在平方損失函數(shù)下尋找的貝葉斯估計(jì)例5.9設(shè)是來(lái)自均勻分布的一個(gè)樣本，的先驗(yàn)分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為試在平方損失函數(shù)下尋求的貝葉斯估計(jì)例5.10某產(chǎn)品的壽命T服從指數(shù)分布。對(duì)指定的時(shí)間后該產(chǎn)品才失效的概率為，稱其為該產(chǎn)品在時(shí)刻的可靠度，現(xiàn)要設(shè)法估計(jì)可靠度。設(shè)對(duì)n個(gè)該產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，n個(gè)產(chǎn)品失效需要很長(zhǎng)時(shí)間，一般達(dá)到事先規(guī)

7、定的失效數(shù)r試驗(yàn)就停止了，這樣的壽命試驗(yàn)稱為截尾壽命試驗(yàn)，所得的r個(gè)失效時(shí)間為稱為次序樣本或結(jié)尾樣本。例5.11設(shè)來(lái)自伽馬分布的一個(gè)樣本，其中已知。試在平方損失函數(shù)下尋求的貝葉斯估計(jì)。二.線性損失函數(shù)下的貝葉斯估計(jì)定理5.4在絕對(duì)值損失函數(shù)下，的貝葉斯估計(jì)為后驗(yàn)分布的中位數(shù)。定理5.5在線性損失函數(shù)下，的貝葉斯估計(jì)為后驗(yàn)分布的分位數(shù)。例5.13考慮對(duì)一個(gè)孩子做智商測(cè)驗(yàn)。設(shè)測(cè)驗(yàn)結(jié)果x服從正態(tài)分布，其中為這個(gè)孩子的智商。若從過(guò)去的資料知，的先驗(yàn)分布為，從而后驗(yàn)分布為。若這個(gè)孩子的測(cè)驗(yàn)結(jié)果為115分，在估計(jì)這個(gè)孩子的智商時(shí)，認(rèn)為低估比高估的損失高兩倍，則其損失函數(shù)為

8、試求這個(gè)小孩智商的貝葉斯估計(jì)。三.有限