顯式與隱式積分.docx

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1、這是ansys里面的兩種求解方法。?大多數(shù)非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題一般多是采用顯式求解方法，特別是在求解大型結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)高度非線性問(wèn)題時(shí)，顯示求解方法有明顯的優(yōu)越性。下面先簡(jiǎn)要對(duì)比一下隱式求解法和顯示求解法。動(dòng)態(tài)問(wèn)題涉及到時(shí)間域的數(shù)值積分方法問(wèn)題。在80年代中期以前，人們基本上采用紐曼法進(jìn)行時(shí)間域的積分。根據(jù)紐曼法，位移、速度和加速度有著如下關(guān)系：u(i+1)=u(i)+△t*v(i)[(1—2p)a(i)+2p*a(i+1)]?????(1)??????????????????v(i+1)=V(i)+△t[(1-2q)

2、a(i)+2qa(i+1)]?????????????(2)?????上面式子中?u(i+1),u(i)分別為當(dāng)前時(shí)刻和前一時(shí)刻的位移，v(i+1)和V(i)為當(dāng)前時(shí)刻和前一時(shí)刻的速度，a(i+1)和a(i)為當(dāng)前時(shí)刻和前一時(shí)刻的加速度，p和q為兩個(gè)待定參數(shù)，△t為當(dāng)前時(shí)刻與前一時(shí)刻的時(shí)問(wèn)差，符號(hào)*?為乘號(hào)。由式(1)和式(2)可知，在紐曼法中任一時(shí)刻的位移、速度、加速度都相互關(guān)聯(lián)，這就使得運(yùn)動(dòng)方程的求解變成一系列相互關(guān)聯(lián)的非線性方程的求解，這個(gè)求解過(guò)程必須通過(guò)迭代和求解聯(lián)立方程組才能實(shí)現(xiàn)。這就是通常所說(shuō)的隱式

3、求解法。隱式求解法可能遇到兩個(gè)問(wèn)題。一是迭代過(guò)程不一定收斂，二是聯(lián)立方程組可能出現(xiàn)病態(tài)而無(wú)確定的解。隱式求解法最大的優(yōu)點(diǎn)是它具有無(wú)條件穩(wěn)定性，即時(shí)間步長(zhǎng)可以任意大。???如果采用中心差分法來(lái)進(jìn)行動(dòng)態(tài)問(wèn)題的時(shí)域積分，則有如下位移、速度和加速度關(guān)系式：??????????????????????u(i+1)=2u(i)-u(i-1)+a(i)(△t)^2????????????????(3)??????????????????????v(i+1)=[u(i+1)-u(i-1)]／2(△t)?????????????

4、????(4)?式中u(i-1)，為i-1時(shí)刻的位移。由式(3)可以看出，當(dāng)前時(shí)刻的位移只與前一時(shí)刻的加速度和位移有關(guān)，這就意味著當(dāng)前時(shí)刻的位移求解無(wú)需迭代過(guò)程。另外，只要將運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣對(duì)角化，前一時(shí)刻的加速度求解無(wú)需解聯(lián)立方程組，從而使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，這就是所謂的顯式求解法。顯式求解法的優(yōu)點(diǎn)是它既沒(méi)有收斂性問(wèn)題，也不需要求解聯(lián)立方程組，其缺點(diǎn)是時(shí)間步長(zhǎng)受到數(shù)值積分穩(wěn)定性的限制，不能超過(guò)系統(tǒng)的臨界時(shí)間步長(zhǎng)。?隱式求解法不考慮慣性效應(yīng)[C]和[M]。對(duì)于線性問(wèn)題，無(wú)條件穩(wěn)定，可以用大的時(shí)間步。對(duì)于

5、非線性問(wèn)題，通過(guò)一系列線性逼近（Newton-Raphson）來(lái)求解；要求轉(zhuǎn)置非線性剛度矩陣[K]，收斂時(shí)候需要小的時(shí)間步，對(duì)于高度非線性問(wèn)題無(wú)法保證收斂。因此，隱式求解一般用于線性分析和非線性結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力分析，包括結(jié)構(gòu)固有頻率和振型計(jì)算。?ansys使用的Newmark時(shí)間積分法即為隱式求解法。顯示求解法是ansys/ls-dyna中主要的求解方法，用于分析大變形、瞬態(tài)問(wèn)題、非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題等。對(duì)于非線性分析，顯示求解法有一些基本的特點(diǎn)，如：塊質(zhì)量矩陣需要簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)置；方程非耦合，可以直接求解；無(wú)須轉(zhuǎn)置剛度矩陣，

6、所有的非線性問(wèn)題（包括接觸）都包含在內(nèi)力矢量中；內(nèi)力計(jì)算是主要的計(jì)算部分；無(wú)效收斂檢查；保存穩(wěn)定狀態(tài)需要小的時(shí)間步。（此處我也不是很理解，僅供你參考）。?弄清楚了隱式和顯示求解法后，簡(jiǎn)單說(shuō)一下單點(diǎn)積分和全積分。ansys作為一種有限單元法，它是一種離散化的數(shù)值解法。?有限單元法中，每一單元的特性用單元?jiǎng)偠染仃噥?lái)表示，每一結(jié)構(gòu)構(gòu)件的力與位移之間的關(guān)系不是精確推導(dǎo)出來(lái)的，而是利用每一單元中近似的位移函數(shù)得到節(jié)點(diǎn)位移，然后計(jì)算積分點(diǎn)應(yīng)變和應(yīng)力，輸出時(shí)才根據(jù)用戶請(qǐng)求將積分點(diǎn)結(jié)果復(fù)制或線性外推至單元的節(jié)點(diǎn)上。因此，有限單

7、元法是一種近似的數(shù)值方法。先看一下積分點(diǎn)的概念：?計(jì)算剛度矩陣需要進(jìn)行數(shù)值積分，Ansys采用高斯積分法，即采用各積分點(diǎn)處函數(shù)值與積分系數(shù)乘積之和，因此積分點(diǎn)也稱高斯積分點(diǎn)。積分點(diǎn)位置的確定比較復(fù)雜，它是勒讓德多項(xiàng)式Ln（x）的n個(gè)不同的實(shí)根，即需要求解勒讓德多項(xiàng)式。對(duì)于面、體單元，在積分點(diǎn)處計(jì)算單元結(jié)果也比較精確。由此可知，積分點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)完全不同，不同單元積分點(diǎn)位置也不一樣，個(gè)別梁?jiǎn)卧矝](méi)有積分點(diǎn)。Gauss?積分階數(shù)低于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需階數(shù)的積分稱為縮減積分,簡(jiǎn)單地說(shuō)就是數(shù)值積分采用比精確積分要求

8、少的積分點(diǎn)數(shù)。實(shí)際計(jì)算表明，采用縮減積分往往可以取得較完全精確積分更好的精度。因此，所謂單點(diǎn)積分和全積分實(shí)際上指的是高斯積分時(shí)所采用的積分點(diǎn)的個(gè)數(shù)。這樣說(shuō)來(lái)，單點(diǎn)積分和全積分與顯示求解法和隱式求解法沒(méi)有本質(zhì)的聯(lián)系。只不過(guò)，在顯示動(dòng)力分析中最消耗CPU的一項(xiàng)就是單元的處理。由于積分點(diǎn)的個(gè)數(shù)與CPU時(shí)間成正比，采用簡(jiǎn)化積分的單元便可以極大的節(jié)省數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量和運(yùn)算次數(shù)，進(jìn)而提高運(yùn)算效率。除節(jié)省