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《第二節(jié)定積分的計(jì)算1.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第二節(jié)定積分的計(jì)算一.微積分學(xué)基本定理變上限定積分設(shè)在上連續(xù)稱為變上限定積分.定理6.1(微積分學(xué)基本定理或原函數(shù)存在定理)如果在上連續(xù),則是在上的一個(gè)原函數(shù),即有證例1設(shè)求解例2設(shè)求解例3設(shè)求解和復(fù)合而成例4設(shè)求解變上限求導(dǎo)總結(jié)(1)上限被積函數(shù)在上限處的值(2)上限被積函數(shù)在上限處的值乘以上限的導(dǎo)數(shù)(3)下限變交換上下限加負(fù)號再求導(dǎo)(4)上下限變利用區(qū)間可加性拆開再求導(dǎo)例5求極限解例6求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解方程兩邊作為的函數(shù)同時(shí)求導(dǎo)所以二.牛頓—萊布尼茲公式定理6.2如果在上連續(xù),是在上的
2、一個(gè)原函數(shù),則證因所以令則所以再令得例6求解例7求解原式例8,求設(shè)解計(jì)算解注這是錯(cuò)誤的,因?yàn)槎ɡ硪筮B續(xù).三.定積分的換元積分法第一類換元積分(湊微分)法具體做題步驟:證例9求解令解注不寫出新變量時(shí),積分限不換!第二類換元積分法具體做題步驟:證例10求解原式令則當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)例11求解原式令則當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)例12證明證令則當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)故定積分等式的證明(2)作變量替換:看兩端積分限或被積函數(shù)令(1)將某一端改換自變量符號(3)如果兩端積分限均為:則令則令則令(4)定積分是常數(shù)及定積分與積分變量符號無關(guān)常被應(yīng)用補(bǔ)例若是定
3、義在內(nèi)周期為的連續(xù)函數(shù),證明證令則當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)故例13(奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分)設(shè)在上連續(xù),求證:(1)如果為奇函數(shù),則(2)如果為偶函數(shù),則證令則當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)故命題成立.例14求解原式例15求解原式例16設(shè)在內(nèi)連續(xù),若求解令四.定積分的分部積分法定理6.4如果及在上導(dǎo)函數(shù)連續(xù)則證因所以則故例17求解原式例18求解原式(2003年考研真題4分)補(bǔ)充例題解例19求解原式故原式設(shè)與在上的導(dǎo)數(shù)連續(xù),且證明:對任意有(2005年考研真題8分)補(bǔ)充例題證左邊例20求解令則例21設(shè)連續(xù),且已知求的值.解令則當(dāng)時(shí)時(shí)故故故
4、上式兩端對求導(dǎo),得即令得即例22設(shè)連續(xù),且求的值.解令則當(dāng)時(shí)時(shí)故故上式兩端對求導(dǎo),得上式兩端對求導(dǎo),得即令得即例23設(shè)且在上可導(dǎo),證明:存在使證明:作輔助函數(shù)則故在上滿足羅爾定理,存在使而存在使故設(shè)與在上連續(xù),且滿足證明:(2004年考研真題8分)證明:故
