用平移旋轉(zhuǎn)解題.doc

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1、用平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱巧解幾何問題談靜在證明和求值的諸多幾何問題中，往往不能直接找到解題的突破口，那么我們就要另壁蹊徑，就是要借助圖形轉(zhuǎn)換的方法來(lái)解題了。以下介紹三種方法：一、平移：將圖形沿著一個(gè)方向移動(dòng)一段距離例1如圖1，在六邊形ABCDEF中，AB//ED，AF//CD，BC//FE，AB=ED，AF=CD，BC=EF，又知對(duì)角線FD⊥BD，F(xiàn)D=24cm，BD=18cm，則六邊形ABCDEF的面積為多少？此題顯然不能直接運(yùn)算，但只要將圖形適當(dāng)?shù)胤指畈⑵揭埔幌戮涂梢粤?。解：本題初看無(wú)法下手，但仔細(xì)觀察，題中彼此平行且相等的線段有三組，于是產(chǎn)生將△DEF平移到

2、△BAG，將△BCD平移到△GAF的位置。則長(zhǎng)方形BDFG的面積等于六邊形的面積。即S六ABCDEF=S正BDFG=18×24=432cm2二、旋轉(zhuǎn)：將某圖形繞著一個(gè)固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到另一個(gè)位置，以此重新組合圖形例2如圖2，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a>0），求：（1）∠APB的度數(shù)；（2）正方形的邊長(zhǎng)。解：將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針轉(zhuǎn)90°，得△CQB，顯然△CQB≌△APB，連接PQ，∠PBQ=90°，PB=QB=2a，所以∠PQB=∠QPB=45°，PQ=于是∠APB=90°＋45°=135°．（2）例3如圖3，P是等邊△AB

3、C內(nèi)一點(diǎn)，PA=2，PB，PC=4，求BC的長(zhǎng)。此題乍一看似乎無(wú)從著手，但只要運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)解題，就十分容易了。解：將△BPA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°，則BA與BC重合，BP=BM，PA=MC，連接MP，則△MBP為正三角形，即，PC=4，因?yàn)?，所以∠MPC=30°，又因?yàn)椤螹PB=60°，所以∠CPB=90°，得BC．可見，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后的圖形給我們的解題帶來(lái)了很大的好處，是一種捷徑．因此，我們應(yīng)多多利用旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)解決更多的問題．三、對(duì)稱（也可理解為翻折）：某圖形對(duì)于某條線對(duì)稱的圖形例4作圖設(shè)計(jì)，村莊A、B位于不平行的兩條小河的兩側(cè)，若要在兩條小河上各架設(shè)一座與河

4、岸垂直的橋，并要使A到B的路程最近，問橋應(yīng)架在何處？解：此題看來(lái)很復(fù)雜，但利用對(duì)稱的原理來(lái)稍做改變，問題就可以迎刃而解了。設(shè)河岸為L(zhǎng)1、L2、L3、L4，L1//L2，L3//L4，作AA1⊥L1，BB1⊥L3，使AA1的長(zhǎng)為L(zhǎng)1與L2之間的距離．連接A1B1交L2于A2，交L3于B2，則A2、B2就是加橋的地址，再?gòu)腁2、B2出發(fā)作兩座橋。例5如圖5，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∠ECF=45°，求證：EF2=EA2＋BF2。解：將△AEC和△BCF向內(nèi)翻折，所以AE=EO，BF=OF，因?yàn)椤螮CF=45°，所以AC與BC重合于OC，且∠E

5、OF=90°。則，即。可見，對(duì)稱和翻折的方法可以有利地把條件集中在一起，這樣就能很好地利用每一個(gè)條件來(lái)解題了。運(yùn)用以上三種方法可以巧妙地把幾何元素集中到一起，構(gòu)成新的圖形，也同時(shí)可以做到化復(fù)雜為簡(jiǎn)潔，化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形，更加一目了然．這樣可以省去多不必要的過(guò)程，少走幾個(gè)彎路，而同樣達(dá)到解題的目的。幾何問題往往是巧妙的，只要我們善于發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律和特殊性，將圖形稍做改變，往往會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果。因此在做題時(shí)我們也應(yīng)該細(xì)心觀察圖形，抓住一些重要的條件（例如：線段和角度），從而考慮怎樣讓圖形的轉(zhuǎn)換更為簡(jiǎn)潔一些。