同濟高數(shù)第6章課件第3節(jié).ppt

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1、第一節(jié)定積分的元素法一、問題的提出abxyo曲邊梯形:連續(xù)曲線y=f(x)、x軸與兩條直線x=a,x=b所圍成。（3）A的近似值（4）求極限，得A的精確值abxyo（1）把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間相應(yīng)的第i個小曲邊梯形面積為二、元素法的一般步驟：這個方法通常叫做元素法．（1）選取一個變量例如x為積分變量，（2）設(shè)想把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，（3）以所求量U的元素f(x)dx為被積表達式，在區(qū)間[a,b]上作定積分，得并確定它的變化區(qū)間[a,b]；取其中任一小區(qū)間[x,x+dx]，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量近

2、似值:dU=f(x)dx；一、平面圖形的面積第二節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用1。直角坐標系情形解兩曲線的交點(0,0)、(1,1)面積元素選x為積分變量例1計算由兩條拋物線所圍成的圖形的面積.解兩曲線的交點選y為積分變量例2計算由曲線和直線所圍成的圖形的面積.=18yxx=2y=xxy=1解例3計算由曲線xy=1和直線y=x及x=2所圍成的圖形的面積.解橢圓的參數(shù)方程例4求橢圓的面積.曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程:則曲邊梯形的面積（其中和對應(yīng)曲線起點與終點的參數(shù)值）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，面積元素曲邊扇形的面積設(shè)由曲線及射線圍成一曲邊

3、扇形，求其面積．2、極坐標系情形解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積例5求雙紐線所圍平面圖形的面積.解利用對稱性知例6求心形線所圍平面圖形的面積(a>0)旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺1、旋轉(zhuǎn)體的體積二、體積xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為求由連續(xù)曲線y=f(x)、直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積？取積分變量為x在[a,b]上任取小區(qū)間[x,x+dx]取以dx為底的窄曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積元素解直線OP方程為

4、例1連接坐標原點O及點P(h,r)的直線、直線x=h．高為h的圓錐體，及x軸圍成一個直角三角形．將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、計算圓錐體的體積取積分變量為x，在[0,h]上任取小區(qū)間[x,x+dx]，以dx為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為圓錐體的體積解例2求星形線(a>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.旋轉(zhuǎn)體的體積直線y=c,y=d及y軸所圍成的曲邊梯形類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為:解分別繞x軸、例3求擺線的一拱與y=0所圍成的圖形,y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.繞x軸旋轉(zhuǎn)的

5、旋轉(zhuǎn)體體積繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可看作平面圖OABC與OBC分別繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.解體積元素為例4求由曲線繞直線x=3旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.及y=0所圍成的圖形取積分變量為y,2、平行截面面積為已知的立體的體積如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積A(x)表示過點x且垂直于x軸的截面面積，A(x)為x的已知連續(xù)函數(shù)解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積例5一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角計算這平面截圓柱體

6、所得立體的體積垂直于x軸的截面為直角三角形解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積例6求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積垂直于x軸的截面為等腰三角形1、平面曲線弧長的概念三、平面曲線的弧長并依次連接相鄰分點,接折線，其長為且每個小弧段的長度都趨向于零時,在弧上插入得內(nèi)稱此曲線弧為可求長的。的極限存在，設(shè)曲線弧AB,分點稱此極限為曲線弧AB的弧長當分點無限增多,弧微分：是否所有的曲線弧都是可求長的？定理：光滑或分段光滑的曲線弧是可求長的。如何求弧長？弧長元素弧長2、直角坐標情形設(shè)

7、曲線弧為y=f(x)其中y=f(x)在[a,b]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),取積分變量為x在[a,b]上任取小區(qū)間[x,dx]小切線段的長:x=g(y)x=g(y)在[c,d]y在[c,d][y,y+dy]解所求弧長為求弧長步驟:(1)確定積分變量(2)求弧微分(3)積分例1計算曲線相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長度解(令x=nt)例2計算曲線的弧長曲線弧為弧長3、參數(shù)方程情形其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)解根據(jù)對稱性例3求星形線(a>0)的全長曲線弧為弧長4、極坐標情形其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)解例4求極坐標系下曲線的長解例5求阿基米德螺線(a

8、>0)上相應(yīng)于從0到的弧長直角坐標系：參數(shù)方程：極坐標系：弧微分求法：四、小結(jié)坐標系曲線方程弧微分