傅立葉變換ppt課件.ppt

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1、第七章傅里葉變換在自然科學(xué)和工程技術(shù)中為了把較復(fù)雜的運算轉(zhuǎn)化為較簡單的運算，人們常采用變換的方法來達到目的．例如在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)量的乘積和商可以通過對數(shù)變換化為較簡單的加法和減法運算．在工程數(shù)學(xué)里積分變換能夠?qū)⒎治鲞\算（如微分、積分）轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，正是積分變換的這一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成為重要的方法之一．積分變換的理論方法不僅在數(shù)學(xué)的諸多分支中得到廣泛的應(yīng)用，而且在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，例如物理學(xué)、力學(xué)、現(xiàn)代光學(xué)、無線電技術(shù)以及信號處理等方面，作為一種研究工具發(fā)揮著十分重要的作用．所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的任意一個函數(shù)，經(jīng)過某種可逆的積分方法（即為通過含參

2、變量的積分）變?yōu)榱硪缓瘮?shù)類B中的函數(shù)這里是一個確定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核．稱為的像函數(shù)或簡稱為像，稱為的原函數(shù)．在這樣的積分變換下，微分運算可變?yōu)槌朔ㄟ\算，原來的偏微分方程可以減少自變量的個數(shù)，變成像函數(shù)的常微分方程；原來的常微分方程可以變?yōu)橄窈瘮?shù)的代數(shù)方程，從而容易在像函數(shù)類B中找到解的像；再經(jīng)過逆變換，便可以得到原來要在A中所求的解，而且是顯式解．另外需要說明的是，當(dāng)選取不同的積分區(qū)域和核函數(shù)時，就得到不同名稱的積分變換:（1）特別當(dāng)核函數(shù)（注意已將積分參變量改寫為變量），當(dāng)，則稱函數(shù)為函數(shù)的傅里葉（Fourier）變換，簡稱為函數(shù)的傅氏變換．同時我們稱為的傅里葉逆變換

3、．（2）特別當(dāng)核函數(shù)（注意已將積分參變量改寫為變量），當(dāng)，則稱函數(shù)為函數(shù)的拉普拉斯(Laplace)變換，簡稱為函數(shù)的拉氏變換．同時我們稱為的拉氏逆變換．7.1傅里葉級數(shù)本節(jié)簡明扼要地復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的傅里葉級數(shù)基本內(nèi)容7.1.1　周期函數(shù)的傅里葉展開定義7.1.1傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)展開式傅里葉系數(shù)若函數(shù)以為周期，即為的光滑或分段光滑函數(shù)，且定義域為，則可取三角函數(shù)族(7.1.2)作為基本函數(shù)族，將展開為傅里葉級數(shù)（即下式右端級數(shù)）(7.1.3)式（7.1.3）稱為周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式（簡稱傅氏級數(shù)展開），其中的展開系數(shù)稱為傅里葉系數(shù)（簡稱傅氏系數(shù)）．函數(shù)族(7.1.2)是正交的

4、．即為：其中任意兩個函數(shù)的乘積在一個周期上的積分等于零，即利用三角函數(shù)族的正交性，可以求得(7.1.3)的展開系數(shù)為（7.1.4）其中關(guān)于傅里葉級數(shù)的收斂性問題，有如下定理：狄利克雷（Dirichlet）定理7.1.1若函數(shù)滿足條件：(1)處處連續(xù)，或在每個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點；（2）在每個周期內(nèi)只有有限個極值點，則級數(shù)（7.1.3）收斂，且在收斂點有：在間斷點有：7.1.2奇函數(shù)及偶函數(shù)的傅里葉展開定義7.1.2傅里葉正弦級數(shù)傅里葉余弦級數(shù)若周期函數(shù)是奇函數(shù)，則由傅里葉系數(shù)的計算公式(7.1.4)可見，所有均等于零，展開式(7.1.3)成為(7.1.5)這叫作傅里葉正弦級數(shù)．

5、容易檢驗（7.1.5）中的正弦級數(shù)在處為零．由于對稱性，其展開系數(shù)為若周期函數(shù)是偶函數(shù)，則由傅里葉系數(shù)計算公式可見，所有均等于零，展開式(7.1.3)成為(7.1.6)這叫作傅里葉余弦級數(shù)．同樣由于對稱性，其展開系數(shù)為(7.1.7)由于余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦級數(shù)，所以余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處為零．而對于定義在有限區(qū)間上的非周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，需要采用類似于高等數(shù)學(xué)中的延拓法，使其延拓為周期函數(shù)．9.1.3復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)定義7.1.3復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)取一系列復(fù)指數(shù)函數(shù)(7.1.8)作為基本函數(shù)族，可以將周期函數(shù)展開為復(fù)數(shù)形式的傅里葉級數(shù)(7.1.9)利用復(fù)指數(shù)函數(shù)族的正交性，可以

6、求出復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)(7.1.10)式中“*”代表復(fù)數(shù)的共軛上式(7.1.9)的物理意義為一個周期為2l的函數(shù)可以分解為頻率為，復(fù)振幅為的復(fù)簡諧波的疊加．稱為譜點，所有譜點的集合稱為譜．對于周期函數(shù)而言，譜是離散的．盡管是實函數(shù)，但其傅里葉系數(shù)卻可能是復(fù)數(shù)，且滿足：或(7.1.11)7.2實數(shù)與復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分上一節(jié)我們討論了周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，下面討論非周期函數(shù)的級數(shù)展開．7.2.1實數(shù)形式的傅里葉積分定義7.2.1實數(shù)形式的傅里葉變換式傅里葉積分傅里葉積分表示式設(shè)非周期函數(shù)為一個周期函數(shù)當(dāng)周期時的極限情形．這樣，的傅里葉級數(shù)展開式(7.2.1)在時的極限形式就是所要尋

7、找的非周期函數(shù)的傅里葉展開．下面我們研究這一極限過程：設(shè)不連續(xù)的參量故（7.2.1）為（7.2.2）傅里葉系數(shù)為(7.2.3)代入到(7.2.2)，然后取的極限．對于系數(shù)，若有限，則而余弦部分為當(dāng)，不連續(xù)參變量變?yōu)檫B續(xù)參量，以符號代替．對的求和變?yōu)閷B續(xù)參量的積分，上式變?yōu)橥砜傻谜也糠秩袅睿?.2.4）式（7.2.4）稱為的（實數(shù)形式）傅里葉變換式．故（7.2.2）在時的極限形式變?yōu)椋ㄗ⒁獾剑?7.2.5)上式(7.2.5)右邊的積分稱為（