知識講解二項(xiàng)式定理（理）（基礎(chǔ)）.doc

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1、二項(xiàng)式定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解并掌握二項(xiàng)式定理，了解用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理的方法．2．會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理1.定義一般地,對于任意正整數(shù),都有：()，這個公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式。式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr+1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，2．二項(xiàng)式(a+b)n的展開式的特點(diǎn)：(1)項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；(2)二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

2、(3)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；3.兩個常用的二項(xiàng)展開式：①()②要點(diǎn)二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：（）公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③a與b的次數(shù)之和為n。要點(diǎn)詮釋：（1）二項(xiàng)式(a+b)n的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和(b+a)n的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的a和b是不能隨便交換位置的．（2）通項(xiàng)是針對在(a+b)n這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，

3、如(a－b)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（只需把－b看成b代入二項(xiàng)式定理）。要點(diǎn)三：二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)1.楊輝三角和二項(xiàng)展開式的推導(dǎo)。在我國南宋，數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》如下表，可直觀地看出二項(xiàng)式系數(shù)。展開式中的二項(xiàng)式系數(shù),當(dāng)依次取1,2,3,…時(shí),如下表所示:………………………………………11……………………………………121…………………………………1331………………………………14641……………………………15101051…………………………1615201561………………上表叫做二項(xiàng)式系數(shù)的表,也稱楊輝三角(在歐洲,這個

4、表叫做帕斯卡三角),反映了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的展開式中的系數(shù)的意義：為了得到(a+b)n展開式中的系數(shù)，可以考慮在這n個括號中取r個b，則這種取法種數(shù)為，即為的系數(shù)．2.的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：①對稱性：二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；②增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開

5、式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且最大.③各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即；④二項(xiàng)展開式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即。要點(diǎn)詮釋：二項(xiàng)式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別：二項(xiàng)展開式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，二者不一定相等。如(a－b)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是，在這里對應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)都是，但項(xiàng)的系數(shù)是，可以看出，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念．3.展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）如：展開式中含的系數(shù)為要點(diǎn)詮釋：三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開式問題，把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理解決。要點(diǎn)四：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用1

6、.求展開式中的指定的項(xiàng)或特定項(xiàng)（或其系數(shù)）.2.利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。二項(xiàng)式定理表示一個恒等式，對于任意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過對a、b取不同的特殊值）可解決與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的問題，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時(shí)要避免漏項(xiàng)等情況。設(shè)(1)令x=0，則(2)令x=1，則(3)令x=－1，則(4)(5)3.利用二項(xiàng)式定理證明整除問題及余數(shù)的求法：如：求證：能被64整除（）4.證明有關(guān)的不等式問題：有些不等式，可應(yīng)用二項(xiàng)式定理，結(jié)合放縮法證明，即把二項(xiàng)展開式中的某些正項(xiàng)適當(dāng)刪去(縮小

7、)，或把某些負(fù)項(xiàng)刪去(放大)，使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行證明。①；②；（）如：求證：【典型例題】類型一、求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)例1.求的二項(xiàng)式的展開式．【思路點(diǎn)撥】按照二項(xiàng)式的展開式或按通項(xiàng)依次寫出每一項(xiàng)，但要注意符號．【解析】解一：．解二：．【總結(jié)升華】記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(a+b)n的展開式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件，對較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡再展開會更簡捷．舉一反三：【變式】求二項(xiàng)式的展開式．【答案】（1）解法一：解法二：。例2．（1）求的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)及二項(xiàng)式系

8、數(shù)【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件求出二項(xiàng)式的指數(shù)n，然后再求展開式中含x的項(xiàng)．因?yàn)轭}中條件和求解部分都涉及指定項(xiàng)問題，故選用通項(xiàng)公式．【解析