資源描述：
《知識(shí)講解-二項(xiàng)式定理(理)(基礎(chǔ))110.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、______________________________________________________________________________________________________________二項(xiàng)式定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解并掌握二項(xiàng)式定理，了解用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理的方法．2．會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理1.定義一般地,對(duì)于任意正整數(shù)n,都有：(ab)nCn0anCn1an1bCnranrbrCnnbn(nN*)，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n的二項(xiàng)
2、展開式。rnrr做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用T表示，即通項(xiàng)為展開式的第rnrr式中的Cnabr+1項(xiàng)：Tr1Cnab，r+1其中的系數(shù)Cnr（r=0，1，2，?，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，2．二項(xiàng)式(a+b)n的展開式的特點(diǎn)：(1)項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；(2)二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Crn，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；(3)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；3.兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：①(ab)nCn0anCn1an1bL(1)rCnranrbrL(1)nC
3、nnbn(nN*)②(1x)n1Cn1xCn2x2LCnrxrLxn要點(diǎn)二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：Tr1Cnran-rbr（r0,1,2,,n）公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Cnr；②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③a與b的次數(shù)之和為n。要點(diǎn)詮釋：（1）二項(xiàng)式(a+b)n的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)Cnranrbr和(b+a)n的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)Cnrbnrar是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的a和b是不能隨便交換位置的．（2）通項(xiàng)是針對(duì)在(a+b)n這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(a－b)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是Tr
4、1(1)rCnranrbr（只需把－b看成b代入二項(xiàng)式定理）。要點(diǎn)三：二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)1.楊輝三角和二項(xiàng)展開式的推導(dǎo)。在我國(guó)南宋，數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》如下表，可直觀地看出二項(xiàng)式系數(shù)。精品資料______________________________________________________________________________________________________________(ab)n展開式中的二項(xiàng)式系數(shù),當(dāng)n依次取1,2,3,?時(shí),如下表所示:(ab)1???????????????11(ab)2???
5、???????????121(ab)3?????????????1331(ab)4????????????14641(ab)5???????????15101051(ab)6??????????1615201561??????上表叫做二項(xiàng)式系數(shù)的表,也稱楊輝三角(在歐洲,這個(gè)表叫做帕斯卡三角),反映了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的展開式中anrbr的系數(shù)Cnr的意義：為了得到(a+b)n展開式中anrbr的系數(shù)，可以考慮在(ab)(ab)L(ab)這n個(gè)括號(hào)中取r個(gè)b，則這
6、種取法種數(shù)為Cnr，即為anrbr的14444244443n系數(shù)．2.(ab)n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn0、Cn1、Cn2?Cnn具有如下性質(zhì)：①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即CnrCnnr；②增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn2最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)n1n1式系數(shù)Cn2，Cn2相等，且最大.③各二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n，即Cn0Cn1Cn2Cn3Cn4LCnn2n；④二項(xiàng)展開式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式
7、系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即Cn0Cn2Cn4Cn1Cn3Cn52n1。要點(diǎn)詮釋：二項(xiàng)式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別：二項(xiàng)展開式中，第r+1項(xiàng)Cnranrbr的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)Cnr，展開式的系數(shù)是單項(xiàng)式Cnranrbr的系數(shù)，二者不一定相等。如(a－b)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是Tr1(1)rCnranrbr，在這里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)都是Cnr，但項(xiàng)的系數(shù)是(1)rCnr，可以看出，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念．3.(abc)n展開式中apbqcr的系數(shù)求法（p,q,r0的整數(shù)且pqrn）(abc)n[(ab)c]nCnr(ab)nrcrCnrCnq
8、ranrqbqcr如：(
