有限元-第9講-動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有限單元法ppt課件.ppt

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1、第9章動(dòng)力問(wèn)題有限元法張洪偉動(dòng)力學(xué)問(wèn)題第2節(jié)質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣第1節(jié)引言第3節(jié)直接積分法第4節(jié)振型疊加法第5節(jié)解的穩(wěn)定性第6節(jié)大型特征值問(wèn)題的解法第7節(jié)減縮系統(tǒng)自由度的方法第8節(jié)小結(jié)2第1節(jié)有限元?jiǎng)恿W(xué)方程的建立動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，它有兩類(lèi)研究對(duì)象。一類(lèi)是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下工作的機(jī)械或結(jié)構(gòu)，例如，高速旋轉(zhuǎn)的電機(jī)，往復(fù)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)燃機(jī)，以及高速運(yùn)行的飛行器，如何保證它們運(yùn)行的平穩(wěn)性及結(jié)構(gòu)的安全性是極為重要的研究課題。另一類(lèi)是承受動(dòng)力載荷作用的工程結(jié)構(gòu)，例如建于地面的高層建筑和廠房，核電站的安全殼和熱交換器，這些結(jié)構(gòu)的破裂、傾覆和坍塌等破壞事故的發(fā)生，將給人

2、民的生命財(cái)產(chǎn)造成巨大損失。正確分析和設(shè)計(jì)這類(lèi)結(jié)構(gòu)，在理論和實(shí)際上都是具有重要意義的。動(dòng)力學(xué)研究的另一重要領(lǐng)域是波在介質(zhì)中的傳播問(wèn)題。3三維彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程是：平衡方程幾何方程物理方程邊界條件初始條件（在V域內(nèi)）（在V域內(nèi)）（在V域內(nèi)）（在Su域內(nèi)）（在Sσ域內(nèi)）（1.1）（1.2）（1.3）（1.4）（1.5）（1.6）4在動(dòng)載荷作用下，對(duì)于任一瞬時(shí)，設(shè)單元節(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移，則單元內(nèi)也產(chǎn)生相應(yīng)的虛位移和虛應(yīng)變。單元內(nèi)產(chǎn)生的虛應(yīng)變能為:單元除受動(dòng)載荷外，還有加速度和速度引起的慣性力和阻尼力，其中ρ為材料密度，v是線性阻尼系數(shù)。外力所做的虛功為：式中，{Pv}、{Ps

3、}、{Pc}分別為作用于單元上的動(dòng)態(tài)體力、動(dòng)態(tài)面力和動(dòng)態(tài)集中力；V為單元面積；A為單元面積。動(dòng)力學(xué)方程建立：且形函數(shù)僅為坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此有根據(jù)虛位移原理，有代入經(jīng)整理，可得單元運(yùn)動(dòng)方程為由于式中分別稱(chēng)為單元的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，它們就是決定單元?jiǎng)討B(tài)性能的特性矩陣。稱(chēng)為單元節(jié)點(diǎn)動(dòng)載荷列陣，它是作用在單元上的體力、面力和集中力向單元節(jié)點(diǎn)移置的結(jié)果。在動(dòng)態(tài)分析和靜力分析中，單元的剛度矩陣是相同的，外部載荷的移置原理也一樣。動(dòng)力學(xué)有限元分析基本步驟如下：（1）連續(xù)區(qū)域的離散化（2）構(gòu)造插值函數(shù)由于只對(duì)空間域進(jìn)行離散，所以單元內(nèi)位移u,v,w的

4、插值分別表示為:（1.7）其中8（3）形成系統(tǒng)的求解方程（1.8）其中分別是系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)加速度向量和結(jié)點(diǎn)速度向量，M,C,K和Q(t)分別是系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度和結(jié)點(diǎn)載荷向量。9（4）求解運(yùn)動(dòng)方程（1.9）如果忽略阻尼的影響，則運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為如果上式的右端項(xiàng)為零，則上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為（1.10）這是系統(tǒng)的自有振動(dòng)方程，又稱(chēng)為動(dòng)力特性方程。（5）計(jì)算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和應(yīng)力10從以上步驟可以看出，和靜力分析相比，在動(dòng)力分析中，由于慣性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程中，因此引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，最后得到求解方程不是代數(shù)方程組，而是常微分方程組。其它的計(jì)算步驟和靜力分析是完全相同的。

5、關(guān)于二階常微分方程組的解法有兩類(lèi)：直接積分法和振型疊加法。直接積分法是直接對(duì)運(yùn)動(dòng)方程積分。而振型疊加法是首先求解一無(wú)阻尼的自由振動(dòng)方程，然后用解得的特征向量，即固有振型對(duì)運(yùn)動(dòng)方程式進(jìn)行變換。動(dòng)力分析的計(jì)算工作量很大，因此提高效率，節(jié)省計(jì)算工作量的數(shù)值方案和方法是動(dòng)力分析研究工作中的重要組成部分。目前兩種普遍應(yīng)用的減縮自由度的方法是減縮法和動(dòng)力子結(jié)構(gòu)法。11第2節(jié)質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣一、協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣單元質(zhì)量矩陣稱(chēng)為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣。集中質(zhì)量矩陣假定單元的質(zhì)量集中在結(jié)點(diǎn)上，這樣得到的質(zhì)量矩陣是對(duì)角線矩陣。以下分實(shí)體單元和結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行討論。1.實(shí)體單元介紹兩種常用

6、方法（1）第一種方法其中，ne是單元的結(jié)點(diǎn)數(shù)。該式的力學(xué)意義是：Mle每一行的主元素等于Me中該行所有元素之和，而非主元素為零。（2.1）12第2節(jié)質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣（1）第二種方法該式的力學(xué)意義是：Mle每一行的主元素等于Me中該行主元素乘以縮放因子a，而非主元素為零。（2.2）13第2節(jié)質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣?yán)?計(jì)算平面應(yīng)力（應(yīng)變）單元的協(xié)調(diào)質(zhì)量Me矩陣和集中質(zhì)量矩陣Mle。單元采用3結(jié)點(diǎn)三角形單元。（1）協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣位移插值函數(shù)是（2.3）其中I是2×2單位矩陣。（2.4）Me,Ce,Ke和Qe分別是單元的質(zhì)量、阻尼、剛度和載荷矩陣。14第2節(jié)質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣算

7、得單元的協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣（2.5）其中，W＝ρtA是單元的質(zhì)量，t是單元的厚度。15第2節(jié)質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣（2）集中質(zhì)量矩陣按第一種方法計(jì)算，得到集中質(zhì)量矩陣為（2.6）此式的力學(xué)意義是：在單元的每個(gè)結(jié)點(diǎn)上集中1/3的質(zhì)量。16第2節(jié)質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣按第二種方法計(jì)算，得到集中質(zhì)量矩陣與第一種方法結(jié)果一樣。注：對(duì)于8結(jié)點(diǎn)矩形單元，兩種方法得到的集中質(zhì)量矩陣不同。在實(shí)際分析中，更多的是推薦用第二種方法來(lái)計(jì)算集中質(zhì)量矩陣。2.結(jié)構(gòu)單元2結(jié)點(diǎn)經(jīng)典梁?jiǎn)卧?、協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣如下所示：（1）協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣位移插值函數(shù)是（2.7）其中17第2節(jié)質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣計(jì)算得單