有限元 第9講 動力學問題有限單元法

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1、第9章動力問題有限元法張洪偉2動力學問題第2節(jié)質量矩陣和阻尼矩陣第1節(jié)引言第3節(jié)直接積分法第4節(jié)振型疊加法第5節(jié)解的穩(wěn)定性第6節(jié)大型特征值問題的解法第7節(jié)減縮系統(tǒng)自由度的方法第8節(jié)小結3第1節(jié)有限元動力學方程的建立動力學問題中最經常遇到的是結構動力學問題,它有兩類研究對象。一類是在運動狀態(tài)下工作的機械或結構,例如,高速旋轉的電機,往復運動的內燃機,以及高速運行的飛行器,如何保證它們運行的平穩(wěn)性及結構的安全性是極為重要的研究課題。另一類是承受動力載荷作用的工程結構,例如建于地面的高層建筑和廠房,核電站的安全殼和熱交換器,這些結構的破裂、傾覆和坍塌

2、等破壞事故的發(fā)生,將給人民的生命財產造成巨大損失。正確分析和設計這類結構,在理論和實際上都是具有重要意義的。動力學研究的另一重要領域是波在介質中的傳播問題。4三維彈性動力學的基本方程是:平衡方程幾何方程物理方程邊界條件初始條件(在V域內)(在V域內)(在V域內)(在Su域內)(在Sσ域內)(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)在動載荷作用下,對于任一瞬時,設單元節(jié)點發(fā)生虛位移,則單元內也產生相應的虛位移和虛應變。單元內產生的虛應變能為:單元除受動載荷外,還有加速度和速度引起的慣性力和阻尼力,其中ρ為材料密度,v是線性阻尼系

3、數。外力所做的虛功為:式中,{Pv}、{Ps}、{Pc}分別為作用于單元上的動態(tài)體力、動態(tài)面力和動態(tài)集中力;V為單元面積;A為單元面積。動力學方程建立:且形函數僅為坐標x、y、z的函數,與時間無關,因此有根據虛位移原理,有代入經整理,可得單元運動方程為由于式中分別稱為單元的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣,它們就是決定單元動態(tài)性能的特性矩陣。稱為單元節(jié)點動載荷列陣,它是作用在單元上的體力、面力和集中力向單元節(jié)點移置的結果。在動態(tài)分析和靜力分析中,單元的剛度矩陣是相同的,外部載荷的移置原理也一樣。8動力學有限元分析基本步驟如下:(1)連續(xù)區(qū)域的離散化

4、(2)構造插值函數由于只對空間域進行離散,所以單元內位移u,v,w的插值分別表示為:(1.7)其中9(3)形成系統(tǒng)的求解方程(1.8)其中分別是系統(tǒng)的結點加速度向量和結點速度向量,M,C,K和Q(t)分別是系統(tǒng)的質量、阻尼、剛度和結點載荷向量。10(4)求解運動方程(1.9)如果忽略阻尼的影響,則運動方程簡化為如果上式的右端項為零,則上式進一步簡化為(1.10)這是系統(tǒng)的自有振動方程,又稱為動力特性方程。(5)計算結構的應變和應力11從以上步驟可以看出,和靜力分析相比,在動力分析中,由于慣性力和阻尼力出現在平衡方程中,因此引入了質量矩陣和阻尼矩

5、陣,最后得到求解方程不是代數方程組,而是常微分方程組。其它的計算步驟和靜力分析是完全相同的。關于二階常微分方程組的解法有兩類:直接積分法和振型疊加法。直接積分法是直接對運動方程積分。而振型疊加法是首先求解一無阻尼的自由振動方程,然后用解得的特征向量,即固有振型對運動方程式進行變換。動力分析的計算工作量很大,因此提高效率,節(jié)省計算工作量的數值方案和方法是動力分析研究工作中的重要組成部分。目前兩種普遍應用的減縮自由度的方法是減縮法和動力子結構法。12第2節(jié)質量矩陣和阻尼矩陣一、協(xié)調質量矩陣和集中質量矩陣單元質量矩陣稱為協(xié)調質量矩陣。集中質量矩陣假定

6、單元的質量集中在結點上,這樣得到的質量矩陣是對角線矩陣。以下分實體單元和結構單元進行討論。1.實體單元介紹兩種常用方法(1)第一種方法其中,ne是單元的結點數。該式的力學意義是:Mle每一行的主元素等于Me中該行所有元素之和,而非主元素為零。(2.1)13第2節(jié)質量矩陣和阻尼矩陣(1)第二種方法該式的力學意義是:Mle每一行的主元素等于Me中該行主元素乘以縮放因子a,而非主元素為零。(2.2)14第2節(jié)質量矩陣和阻尼矩陣例1計算平面應力(應變)單元的協(xié)調質量Me矩陣和集中質量矩陣Mle。單元采用3結點三角形單元。(1)協(xié)調質量矩陣位移插值函數是

7、(2.3)其中I是2×2單位矩陣。(2.4)Me,Ce,Ke和Qe分別是單元的質量、阻尼、剛度和載荷矩陣。15第2節(jié)質量矩陣和阻尼矩陣算得單元的協(xié)調質量矩陣(2.5)其中,W=ρtA是單元的質量,t是單元的厚度。16第2節(jié)質量矩陣和阻尼矩陣(2)集中質量矩陣按第一種方法計算,得到集中質量矩陣為(2.6)此式的力學意義是:在單元的每個結點上集中1/3的質量。17第2節(jié)質量矩陣和阻尼矩陣按第二種方法計算,得到集中質量矩陣與第一種方法結果一樣。注:對于8結點矩形單元,兩種方法得到的集中質量矩陣不同。在實際分析中,更多的是推薦用第二種方法來計算集中質量

8、矩陣。2.結構單元2結點經典梁單元、協(xié)調質量矩陣和集中質量矩陣如下所示:(1)協(xié)調質量矩陣位移插值函數是(2.7)其中18第2節(jié)質量矩陣和阻尼矩陣計算

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