有限元分析第4章平面問題有限單元法

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1、李建宇天津科技大學(xué)有限元分析FiniteElementAnalysis內(nèi)容Chp.4平面問題的有限元法24.3形函數(shù)的性質(zhì)4.4整體剛度矩陣的組裝及其性質(zhì)4.5等效節(jié)點(diǎn)載荷向量要求理解：連續(xù)體有限元分片插值的含義；形函數(shù)的功能及其性質(zhì)；基于虛功方程的整體剛度矩陣的組裝；基于虛功方程的等效節(jié)點(diǎn)載荷向量的生成掌握：常應(yīng)變?nèi)切螁卧M裝技術(shù)；常應(yīng)變?nèi)切螁卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷向量的生成課后作業(yè)推導(dǎo)常應(yīng)變?nèi)切螁卧倓偤偷刃лd荷向量有限元分析——4－3,4,5回顧連續(xù)體有限元分析的基本流程整體離散單元分析單元組裝整體解算連續(xù)體結(jié)構(gòu)人工節(jié)點(diǎn)逼近離散vmumvj

2、viuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo單元節(jié)點(diǎn)位移FmyFmxFjyFiyFixi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFjxyxo單元等效節(jié)點(diǎn)力單元剛度方程離散化方法回顧幾何實(shí)體的逼近性離散三角形單元分析回顧目標(biāo)：對三角形單元，建立節(jié)點(diǎn)位移與等效節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo單元節(jié)點(diǎn)位移FmyFmxFjyFiyFixi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFjxyxo單元等效節(jié)點(diǎn)力～？回顧三角形單元分析單元分析的流程（1）

3、節(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo解決辦法：插值(分片插值的提法)形函數(shù)矩陣形函數(shù)（shapefunction）及其性質(zhì)回顧下標(biāo)i,j,m輪換性質(zhì)：其中：（a）Ni(x,y)在i點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移為1，其它節(jié)點(diǎn)為0。（b）單元中任一點(diǎn)各形函數(shù)的和為1。力學(xué)意義：固定j，m節(jié)點(diǎn)，使i節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移1，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位移場為Ni(x,y)。力學(xué)意義：令單元發(fā)生剛體位移u0，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位移均為u0，即單元分析流程（2）內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移應(yīng)變回顧解決辦法：彈性力學(xué)幾何方程[B]矩陣稱為應(yīng)變矩陣得代

4、入該單元為常應(yīng)變單元單元分析流程（3）應(yīng)變應(yīng)力回顧解決辦法：彈性力學(xué)物理方程得代入[S]矩陣稱為應(yīng)力矩陣。例：對于平面應(yīng)力問題代入得其中單元分析流程（4）應(yīng)力等效節(jié)點(diǎn)內(nèi)力回顧解決辦法：單元平衡分析平面問題虛功原理代入得內(nèi)力虛功＝外力虛功＝外力虛功＝內(nèi)力虛功單元剛度方程單元剛度方程建立了單元的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，稱為單元剛度矩陣。它是6×6矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動而改變。一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)

5、已經(jīng)求出了下列關(guān)系一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)結(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：(以簡單平面桁架為例)平面問題中，離散化的單元組合體極為相似，單元組合體在節(jié)點(diǎn)載荷的作用下，節(jié)點(diǎn)對單元、單元對節(jié)點(diǎn)都有作用力與反作用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱為節(jié)點(diǎn)力。節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為單元剛度方程：一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義：將寫成分塊矩陣寫成普通方程其中表示節(jié)點(diǎn)s(s=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)r(r=i,j,m)上所需要施加的節(jié)點(diǎn)力的大小。一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義：將節(jié)點(diǎn)力列向量與節(jié)點(diǎn)

6、位移列向量均擴(kuò)展成(6×1)階列矩陣，單元剛度矩陣相應(yīng)地展開成(6×6)階方陣：元素K的腳碼，標(biāo)有“-”的表示水平方向，沒有標(biāo)“-”的表示垂直方向。一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意義：單元剛度矩陣的各元素的物理意義：表示節(jié)點(diǎn)s(s=i,j,m)在水平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)r(r=i,j,m)上分別所要施加的水平節(jié)點(diǎn)力和垂直節(jié)點(diǎn)力的大小。例如表示節(jié)點(diǎn)j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i所需要施加的水平節(jié)點(diǎn)力的大小。一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的性質(zhì)：1)對稱性：是對稱矩陣2)奇異性：是奇異矩陣

7、單元剛度矩陣所有奇數(shù)行的對應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對應(yīng)元素之和也為零。由此可見，單元剛度矩陣各列元素的總和為零。由對稱性可知，各行元素的總和也為零。一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的性質(zhì)：例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)1、求[B]2、求[D]3、求[S]4、求回顧連續(xù)體有限元分析的基本流程整體離散單元分析單元組裝整體解算連續(xù)體結(jié)構(gòu)人工節(jié)點(diǎn)逼近離散vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo單元節(jié)點(diǎn)位移FmyFmxFjyFiyFixi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFjxy

8、xo單元等效節(jié)點(diǎn)力單元剛度方程二、單元組裝技術(shù)組裝原理：節(jié)點(diǎn)位移協(xié)調(diào)條件節(jié)點(diǎn)平衡條件ijm③④①②③③①①④④iiii)1(iVyiPxiP)e(iU