平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法

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1、14.1平面應(yīng)力問題第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法4.2平面應(yīng)變問題4.3平面問題的離散化4.4平面三結(jié)點三角形單元4.5ANSYS平面結(jié)構(gòu)計算示例2嚴(yán)格地說，任何彈性體都是處于三維受力狀態(tài)，因而都是空間問題，但是在一定條件下，許多空間問題都可以簡化成平面問題。平面問題可以分為兩類：平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。圖4-1平面問題應(yīng)力狀態(tài)第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法34.1平面應(yīng)力問題圖4-2(a)平面應(yīng)力問題如圖所示的深梁結(jié)構(gòu)，其厚度方向的尺寸遠(yuǎn)比其它兩個方向的尺寸小得多，可視為一薄板。它只承受作用在

2、其平面內(nèi)的載荷，且沿厚度方向不變，計算時以中性面為研究對象。其力學(xué)特點是：平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣即彈性矩陣為：。第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法4圖4-2(b)平面應(yīng)變問題4.2平面應(yīng)變問題圖示為一圓形涵洞的橫截面。其長度方向上的尺寸遠(yuǎn)比其它兩個方向上的尺寸大得多，同樣，載荷作用在xy坐標(biāo)面內(nèi)，且沿z軸方向均勻分布。其力學(xué)特點是：但一般情況下平面應(yīng)變問題的彈性矩陣只需將式(4-1)中的E換成換成，即可。。第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法5無論是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系均為

3、：，其中：為初應(yīng)變。式中4.3平面問題的離散化(a)三結(jié)點三角形單元(b)四結(jié)點正方形單元(c)四結(jié)點矩形單元(d)四結(jié)點四邊形單元圖4-3平面問題單元的主要類型第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法6圖4-4(a)表示的是帶有橢圓孔的平板，在均勻壓力作用下的應(yīng)力集中問題。圖4-5(b)是利用結(jié)構(gòu)的對稱性，采用三結(jié)點三角形單元而離散后的力學(xué)模型，各單元之間以結(jié)點相連。(a)均勻受力板力學(xué)模型(b)力學(xué)模型離散化圖4-4平面問題有限單元法的計算力學(xué)模型第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法74.4平面三結(jié)點三角形單元4

4、.1.1位移函數(shù)圖4-5三角形單元如果把彈性體離散成為有限個單元體，而且單元很小時，就很容易利用其結(jié)點的位移，構(gòu)造出單元的位移插值函數(shù)，即位移函數(shù)。位移函數(shù)矩陣形式：第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法8簡寫為：由于位移函數(shù)適用于單元中的任意一點，所以帶入3個結(jié)點的坐標(biāo)后，得出結(jié)點處位移函數(shù)為簡寫為：第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法9解出其中，是三角形單元的面積，當(dāng)三角形單元結(jié)點i、j、m按逆時針次序排列時，則有4.4.2形函數(shù)矩陣第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法10其中記號表示將i、j、m進(jìn)行輪換后，可得出另

5、外兩組帶腳標(biāo)的a、b、c的公式。單元位移函數(shù)為結(jié)點位移的插值函數(shù)，即第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法(4-9)11令在式(4-10)中表示的稱為形函數(shù)，于是位移函數(shù)表達(dá)式用形函數(shù)表示為：(4-10)(4-11)寫成矩陣形式(4-12)第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法12由幾何方程知將式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏導(dǎo)數(shù)，得(4-13)4.4.3單元的應(yīng)力與應(yīng)變第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法13簡寫為：(4-14)由于[B]是常量，單元內(nèi)各點應(yīng)變分量也都是常量，這是由于采用了線性位移函數(shù)的緣故，這種

6、單元稱為常應(yīng)變?nèi)切螁卧?4-15)第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法14由彈性力學(xué)的物理方程可知，其應(yīng)力與應(yīng)變有如下關(guān)系：(4-16)將式(4-14)代入式(4-16)，得(4-17)式中(4-18)[S]稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，對平面應(yīng)力問題，其子矩陣為(4-19)由式(4-17)看出，應(yīng)力分量也是一個常量。在一個三角形單元中各點應(yīng)力相同，一般用形心一點表示。其應(yīng)變也可同樣表示。第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法15用虛功原理來建立結(jié)點力和結(jié)點位移間的關(guān)系式，從而得出三角形單元的剛度矩陣。(a)實際力系(b)

7、虛設(shè)位移圖4-6彈性體虛功原理的應(yīng)用4.4.4三角形單元剛度矩陣第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法16結(jié)點力列向量和應(yīng)力列向量分別為結(jié)點虛位移列向量和虛應(yīng)變列向量為用虛功原理建立三角形單元的虛功方程為由式(4-12)式知，代入式(4-20)得(4-20)第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法17由于虛位移是任意的，等號兩邊可左乘，得(4-21)三角形單元的剛度矩陣可寫成(4-22)用分塊矩陣形式表示(4-23)第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法18結(jié)構(gòu)的平衡條件可用所有結(jié)點的平衡條件表示。假定i結(jié)點為結(jié)構(gòu)中的任一公共

8、結(jié)點，則該結(jié)點平衡條件為：——i結(jié)點的結(jié)點力列向量——圍繞i結(jié)點所有單元的結(jié)點力的向量和——i結(jié)點的載荷列向量。4.4.5整體剛度矩陣第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法19每個結(jié)點由兩個平衡方程組成，若結(jié)構(gòu)共有n個結(jié)點，則有2n個平衡方程。整個結(jié)構(gòu)的平衡條件由式(4-24)求和得到，即：i＝1，2，……n(4-26)(4-27)其中，[K]為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣；為結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移列向量。(4-28)第四章平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法20將式(4-26)、式(4-27