平面問題有限單元法

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1、第六章用有限單元法解平面問題第六章用有限元法解平面問題第五節(jié)單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣第四節(jié)單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣第三節(jié)單元的位移模式與解答的收斂性第二節(jié)有限單元法的概念第一節(jié)基本量及基本方程的矩陣表示概述第六節(jié)荷載向結(jié)點(diǎn)移置單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣第六章用有限單元法解平面問題第六章用有限元法解平面問題例題第十一節(jié)應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程第十節(jié)計(jì)算實(shí)例第九節(jié)計(jì)算成果的整理第八節(jié)解題的具體步驟單元的劃分第七節(jié)結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點(diǎn)平衡方程組習(xí)題的提示與答案教學(xué)參考資料第六章用有限單元法解平面問題第六章用有限單元法解平面問題1.有

2、限元法（FiniteElementMethod）FEM2.FEM的特點(diǎn)概述（1）具有通用性和靈活性。首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用分片插值技術(shù)與虛功原理或變分方法進(jìn)行求解。簡稱FEM，是彈性力學(xué)的一種近似解法。第六章用有限單元法解平面問題簡史3.FEM簡史（2）對(duì)同一類問題，可以編制出通用程序，應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。（3）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度。1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。FEM是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。第六章用有限單元法解平面問題1970年后，F(xiàn)EM被引入

3、我國，并很快地得到應(yīng)用和發(fā)展。簡史1956年，特納等人提出了FEM。20世紀(jì)50年代，平面問題的FEM建立，并應(yīng)用于工程問題。1960年提出了FEM的名稱。20世紀(jì)60年代后，F(xiàn)EM應(yīng)用于各種力學(xué)問題和非線性問題，并得到迅速發(fā)展。第六章用有限單元法解平面問題導(dǎo)出方法5.本章介紹平面問題的FEM4.FEM的主要導(dǎo)出方法應(yīng)用靜力方法或變分方法導(dǎo)出。僅敘述按位移求解的方法。且一般都以平面應(yīng)力問題來表示。第六章用有限單元法解平面問題§6-1基本量和基本方程的矩陣表示本章無特別指明，均表示為平面應(yīng)力問題的公式。采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、

4、簡潔，且便于編制程序。第六章用有限單元法解平面問題基本物理量：體力:基本物理量位移函數(shù):應(yīng)變:應(yīng)力:結(jié)點(diǎn)位移列陣:結(jié)點(diǎn)力列陣:面力:第六章用有限單元法解平面問題物理方程:FEM中應(yīng)用的方程：幾何方程:應(yīng)用的方程其中D為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問題是:第六章用有限單元法解平面問題--結(jié)點(diǎn)虛位移;--對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變。應(yīng)用的方程ij虛功方程:其中:在FEM中，用結(jié)點(diǎn)的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。第六章用有限單元法解平面問題3.整體分析?！?-2有限單元法的概念FEM的概念，可以簡述為：采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實(shí)際

5、具有無限自由度的考察體，是一種在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算方法。其理論基礎(chǔ)是分片插值技術(shù)與變分原理。FEM的概念1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；2.單元分析；FEM的分析過程：第六章用有限單元法解平面問題結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對(duì)象是離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，各單元（桿件）之間除結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系（圖（a））。彈力研究的對(duì)象，是連續(xù)體（圖（b）)。結(jié)構(gòu)離散化1.結(jié)構(gòu)離散化－－將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)第六章用有限單元法解平面問題將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)（圖（c））：即將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用絞連結(jié)起

6、來，構(gòu)成所謂‘離散化結(jié)構(gòu)’。結(jié)構(gòu)離散化第六章用有限單元法解平面問題圖（c）與圖(a）相比，兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖（c）的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。結(jié)構(gòu)離散化例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點(diǎn)用鉸連接起來。第六章用有限單元法解平面問題2.單元分析求解方法每個(gè)三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，應(yīng)按彈性力學(xué)方法進(jìn)行分析。取各結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。然后對(duì)每個(gè)單元,分別求出各物理量,并均用來表示。第六章用有限單元法解平面問題（

7、1）應(yīng)用插值公式,由單元結(jié)點(diǎn)位移，求單元的位移函數(shù)求解方法這個(gè)插值公式稱為單元的位移模式，為：單元分析的主要內(nèi)容：第六章用有限單元法解平面問題（4）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力，求出單元的結(jié)點(diǎn)力，表示為（3）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變，求出單元的應(yīng)力，表示為（2）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d，求出單元的應(yīng)變，表示為求解方法第六章用有限單元法解平面問題－－單元對(duì)結(jié)點(diǎn)的作用力，與數(shù)值相同,方向相反，作用于結(jié)點(diǎn)。--結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力，作用于單元，稱為結(jié)點(diǎn)力，以正標(biāo)向?yàn)檎?。求解方法第六章用有限單元法解平面問題（5）將每一單元中的各種外

8、荷載，按虛功等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上，化為結(jié)點(diǎn)荷載，表示為求解方法第六章用有限單元法解平面問題為已知值,是用結(jié)點(diǎn)位移表示的值。通過求解聯(lián)立方程，得出各結(jié)點(diǎn)位移值，從而求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。各單位移置到i結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)荷載其中表示對(duì)圍繞i結(jié)點(diǎn)的單元求和；