平面問題的有限單元法

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1、5.2.3兩種平面問題彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題，嚴(yán)格地說，任何一個(gè)彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而任何實(shí)際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡(jiǎn)化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題厚度為t的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面且不沿厚度變化。以薄板的中面為xy面，以垂直于

2、中面的任一直線為Z軸。由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：平面應(yīng)變問題一縱向(即Z向)很長(zhǎng)，且沿橫截面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力和體力，如圖1-11所示。由于物體的縱向很長(zhǎng)(在力學(xué)上可近似地作為無(wú)限長(zhǎng)考慮)，截面尺寸與外力又不沿長(zhǎng)度變化；當(dāng)以任一橫截面為xy面，任一縱線為Z軸時(shí)，則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿Z方向變化，它們都只是x和y的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對(duì)稱(任一橫截面都可以看作對(duì)稱面)，所有各點(diǎn)都只會(huì)有x和y方向的位移而不會(huì)有Z方向

3、的位移，即w=0因此，這種問題稱為平面位移問題，但習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問題。45.3平面問題的有限單元法有限單元法的概念有限單元法的計(jì)算步驟單元位移函數(shù)單元?jiǎng)偠染仃囌w剛度矩陣單元載荷移置邊界約束條件的處理（由例子可知）有限單元法的基本思路：(1)把物體分成有限大小的單元，單元間用結(jié)點(diǎn)相連接。(2)把單元結(jié)點(diǎn)的位移作為基本未知量，在單元內(nèi)的位移，設(shè)成線性函數(shù)(或其它函數(shù))，保證在單元內(nèi)和單元間位移連接。(3)將結(jié)點(diǎn)的位移與結(jié)點(diǎn)的力聯(lián)系起來。(4)列出結(jié)點(diǎn)的平衡方程，得出以結(jié)點(diǎn)位移表達(dá)的平衡方程組。(5)求解代數(shù)方

4、程組，得出各結(jié)點(diǎn)的位移，根據(jù)結(jié)點(diǎn)位移求出各單元中的應(yīng)力。有限單元法的基本未知量是結(jié)點(diǎn)位移，用結(jié)點(diǎn)的平衡方程來求解。5.3.1單元與結(jié)構(gòu)離散化有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成的離散體。一維問題桿單元、梁?jiǎn)卧矫鎲栴}三角形單元、四邊形單元、曲邊單元等空間問題四面體單元、六面體單元、曲面六面體單元等這些單元在結(jié)點(diǎn)處用鉸相連，荷載也移置到結(jié)點(diǎn)上，成為結(jié)點(diǎn)荷載。在結(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)之處，就在結(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。單元?jiǎng)澐值脑瓌t：1

5、）各相鄰單元體必須同邊、同頂點(diǎn)；2）結(jié)構(gòu)厚度或彈性常數(shù)突變處應(yīng)作為單元間的分界線；3）單元的大小主要根據(jù)計(jì)算精度和計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度確定。85.3.2單元位移函數(shù)如果彈性體的位移分量是座標(biāo)的已知函數(shù)，則可用幾何方程求應(yīng)變分量，再?gòu)奈锢矸匠糖髴?yīng)力分量。但對(duì)一個(gè)連續(xù)體，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況很難用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。有限單元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成若干細(xì)小網(wǎng)格，在每一個(gè)單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況可近似地用簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。9對(duì)每個(gè)單元，可以假定一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個(gè)函數(shù)稱為位

6、移函數(shù)，或稱為位移模式、位移模型、位移場(chǎng)。對(duì)于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項(xiàng)式表示，多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多，就越接近實(shí)際的位移分布，越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù)，要受單元型式的限制。三結(jié)點(diǎn)三角形單元位移函數(shù)如下：所選用的這個(gè)位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移定為座標(biāo)的線性函數(shù)，位移模式很簡(jiǎn)單。位移函數(shù)寫成矩陣形式為：將水平位移分量和結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入寫成矩陣形式12A為三角形單元的面積。令13則同樣，將垂直位移分量與結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得14其中15最終確定六個(gè)待定系數(shù)17（下標(biāo)i，j，m輪換）簡(jiǎn)寫為令[N]稱為形態(tài)矩陣，Ni稱

7、為位移的形態(tài)函數(shù)或簡(jiǎn)稱形函數(shù)或插值函數(shù)。由位移函數(shù)可知：當(dāng)ui=1,uj=0,um=0時(shí)，u=Ni；當(dāng)vi=1,vj=0,vm=0時(shí)，v=Ni，即函數(shù)Ni表示了當(dāng)節(jié)點(diǎn)i產(chǎn)生單位位移而節(jié)點(diǎn)j、m分別產(chǎn)生零位移時(shí)，單元產(chǎn)生的位移分布形態(tài)。19形函數(shù)具有如下性質(zhì)：1）在節(jié)點(diǎn)上形函數(shù)的值有2）在單元內(nèi)任一點(diǎn)各形函數(shù)之和應(yīng)等于1，即Ni+Nj+Nm=13)對(duì)于現(xiàn)在的單元插值函數(shù)是線性的，在單元內(nèi)部及單元的邊界上位移也是線性的，可由節(jié)點(diǎn)上的位移唯一確定。由于相鄰的單元公共節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移相等，因此保證了相鄰節(jié)點(diǎn)在公共邊界上位移

8、的連續(xù)性。選擇單元位移函數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性，即當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問題的正確解答。因此，選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿足下列條件：(1)位移模式必須在單元內(nèi)連續(xù)，并且兩相鄰單元間的公共邊界上的位移必須協(xié)調(diào)；(2)位移模式必須包括單元的剛體位移；(3)位移模式必須包含單元的常應(yīng)變狀態(tài)。21例題：圖示等腰三角形單元，求其形態(tài)矩陣[N]。由三角形的面