有限元分析第4章 平面問題有限單元法.ppt

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1、李建宇天津科技大學(xué)有限元分析FiniteElementAnalysis內(nèi)容Chp.4平面問題的有限元法14.1連續(xù)體的離散化4.2常應(yīng)變?nèi)切螁卧?.3形函數(shù)的性質(zhì)4.4剛度矩陣要求理解：連續(xù)體有限元分片插值的含義有限元分析中的幾個常用概念，包括：形函數(shù)，應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣，剛度矩陣等掌握：常應(yīng)變?nèi)切螁卧治隽鞒陶n后作業(yè)推導(dǎo)常應(yīng)變?nèi)切螁卧骶仃囉邢拊治觥?－1,2,3,4回顧剛架有限元分析的基本流程整體離散梁單元分析單元組裝整體解算剛架結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)整體剛度方程PP1432123456eijTjmjqjTimiqiO’單元內(nèi)

2、力eij△jfj△ifiy’x’O’單元變形單元剛度方程材料力學(xué)離散化方法節(jié)點(diǎn)：i，j單元編號ePP1432123456單元(element):節(jié)點(diǎn)(node):1,2,3,44123456eij其中：e=1,2,3,4,5,6;i,j=1,2,3,4回顧天然劃分出各梁單元梁單元分析由材料力學(xué)得：單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系局部坐標(biāo)系單元受力eijTjmjqjTimiqiO’局部坐標(biāo)系單元變形eij△jfj△ifiy’x’O’回顧總體剛度矩陣的組裝PP1432123456組裝原理：位移協(xié)調(diào)條件節(jié)點(diǎn)平衡條件位移協(xié)調(diào)條件：各

3、單元共享節(jié)點(diǎn)的位移相等節(jié)點(diǎn)平衡條件：各節(jié)點(diǎn)單元內(nèi)力與節(jié)點(diǎn)外力構(gòu)成平衡力系回顧最終數(shù)學(xué)模型：基本概念回顧單元（element）節(jié)點(diǎn)(node)單元節(jié)點(diǎn)位移(nodedisplacement)單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力(nodeforce)單元剛度矩陣(elementstiffnessmatrix)整體剛度矩陣組裝原理總體剛度矩陣，載荷向量，剛度方程新問題：連續(xù)體的有限元分析如何離散化？如何單元分析？如何組裝單元？一、連續(xù)體的離散化人工節(jié)點(diǎn)逼近性離散節(jié)點(diǎn)位置，單元形狀、大小都會影響對原始結(jié)構(gòu)的逼近描述平面問題:三角形、矩形、任意四邊形…空間問題

4、:四面體、正方體、任意六面體…單元分析的理論基礎(chǔ)：二、平面問題三角形單元分析建立三角形單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系單元分析的目的：彈性力學(xué)基本理論vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxoFymFxmFyjFyiFxii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eFxjyxo單元節(jié)點(diǎn)位移單元等效節(jié)點(diǎn)力(基本變量，基本方程，邊界條件)～？二、平面問題三角形單元分析平面問題彈性力學(xué)基本理論回顧：基本變量幾何方程平衡方程物理方程平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題單元變形分析（位移）問題：平面三角

5、形問題中仍包含無窮多內(nèi)部連續(xù)點(diǎn)，如何用節(jié)點(diǎn)位移表征內(nèi)部連續(xù)位移？二、平面問題三角形單元分析解決思路：插值，即用節(jié)點(diǎn)位移插值近似其它點(diǎn)的位移。vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo如何插值？多項式中包含的項數(shù)越多，就越接近實際的位移分布，越精確。但選取多少項數(shù)，要受單元型式的限制。二、平面問題三角形單元分析單元變形分析（位移）vmumvjviuii(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)eujyxo插值系數(shù)的確定：待定系數(shù)法6個方程6個系數(shù)二、平面問題三角形單元分析矩陣表達(dá)和運(yùn)算令

6、A為三角形單元的面積[T]*為[T]的伴隨矩陣：二、平面問題三角形單元分析矩陣表達(dá)和運(yùn)算（續(xù)）令同理，由回代，得二、平面問題三角形單元分析三角形單元形函數(shù)令得單元內(nèi)各點(diǎn)位移：單元節(jié)點(diǎn)位移：形函數(shù)例題：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣[N]。ijm由三角形的面積二、平面問題三角形單元分析單元變形分析（應(yīng)變）位移應(yīng)變代入記為[B]矩陣稱為應(yīng)變矩陣。常數(shù)二、平面問題三角形單元分析單元應(yīng)力分析應(yīng)變應(yīng)力代入記為[S]矩陣稱為應(yīng)力矩陣。[D]為彈性矩陣單元平衡分析二、平面問題三角形單元分析FymFxmFyjFyiFxii(xi,yi)j

7、(xj,yj)m(xm,ym)eFxjyxo問題：假設(shè)隔離出的各單元，僅在節(jié)點(diǎn)上有內(nèi)力的作用（若單元邊界上和體內(nèi)有力的作用，可事先等效到節(jié)點(diǎn)上，如何等效？），則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力與變形產(chǎn)生的應(yīng)力構(gòu)成平衡力系。單元滿足平衡條件平衡方程用虛功方程代替。單元平衡分析二、平面問題三角形單元分析平面問題虛功原理代入得內(nèi)力虛功＝二、平面問題三角形單元分析單元平衡分析外力虛功＝載荷等效公式二、平面問題三角形單元分析單元平衡分析外力虛功＝內(nèi)力虛功令[K]e單元剛度矩陣單元剛度方程連續(xù)體三角形單元分析小結(jié)單元位移：節(jié)點(diǎn)位移插值單元剛度方程：由虛功方程

8、建立離散化：單元分析：單元節(jié)點(diǎn)人工單元、節(jié)點(diǎn)單元應(yīng)變：由幾何方程建立單元應(yīng)力：由物理方程建立下次課內(nèi)容：單元組裝和單元等效節(jié)點(diǎn)外載課后作業(yè)如圖（a）所示一高深懸臂梁，在右端部受集中力F作用，材料彈性模量E、泊松比v＝1/3，懸臂梁的厚度（板厚）為t，如圖（b）所示有限元模型，