有限元分析——平面問題.ppt

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1、平面問題的有限元法2014.09.161目錄一、平面問題的定義1、平面應(yīng)力問題2、平面應(yīng)變問題二、平面問題有限元法1、結(jié)構(gòu)離散2、三角形單元分析3、整體分析總體剛度矩陣4、非節(jié)點載荷移置5、邊界條件處理求解三、簡單算例2一、平面問題的定義1、平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題滿足以下兩個條件。(1)幾何條件結(jié)構(gòu)是一很薄的等厚度薄板；(2)載荷條件作用于薄板上的載荷平行于板平面、沿厚度方向均勻分布，而在兩板面上無外力作用。YXZOt結(jié)論：板面不受力，則有σZZ=+t/2=0τYZZ=+t/2=0τZXz=+t/2=0因板很薄，載荷又不沿厚度變化，應(yīng)力沿板的厚度方向是連續(xù)分布的，可以認為，在整個板內(nèi)各點都

2、有σZ=0τYZ=0τZX=0根據(jù)剪應(yīng)力的互等性、物理方程，可得描述平面應(yīng)力問題的八個獨立的基本變量為圖1平面應(yīng)力問題3σ=[σXσYτXY]Tε=[εXεYγXY]Td=[μν]T它們僅為x、y的函數(shù)而與z無關(guān)。2、平面應(yīng)變問題滿足以下兩個條件的彈性力學(xué)問題為平面應(yīng)變問題。(1)結(jié)構(gòu)是長柱體，橫截面沿長度方向不變；（2）載荷平行于橫截面且沿縱向方向均勻分布、兩端不受力。ZYXOt圖2平面應(yīng)變問題結(jié)論：結(jié)構(gòu)不能發(fā)生沿Z軸方向的位移，則有ω=0μ=μ(x,y)ν=ν(x,y)4根據(jù)幾何方程、物理方程可得，描述平面應(yīng)變問題的獨立變量也是八個，且與平面應(yīng)力問題的一樣。只是彈性矩陣變?yōu)镈=而平面應(yīng)力

3、問題的彈性矩陣為D=5二、平面問題有限元法1、結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)離散化過程：連續(xù)體結(jié)構(gòu)有限單元的結(jié)合體代替原連續(xù)體平面問題用二維區(qū)域表示可用不同形狀的單元，此處用三角形單元離散62、三角形單元分析⑴單元位移模式形函數(shù)根據(jù)位移函數(shù)選擇方法，三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)μ=μ(x,y)=α1+α2x+α3yν=ν(x,y)=α4+α5x+α6yOYX節(jié)點1(x1,y1)μ1ν1節(jié)點2(x2,y2)μ2ν2節(jié)點3(x3,y3)μ3ν3圖3三節(jié)點三角形單元將三個節(jié)點的位移代入，整理得α1=α2=α3=7α4=(ɑ1ν1+ɑ2ν2+ɑ3ν3)α5=(b1v1+b2v2+b3v3)α6=(c1v1+c2v2+c

4、3v3)其中A=ɑ1=b1=-c1=(1,2,3)上式表示下標(biāo)輪換，即12，23，31同時更換。8重寫位移函數(shù)，并以節(jié)點位移的形式進行表達，有其中形函數(shù)矩陣為N=其中Ni=(ɑi+bix+ciy)，i=1、2、3。⑵單元的應(yīng)變與應(yīng)力單元應(yīng)變ε=Bqe式中應(yīng)變矩陣B為B=節(jié)點位移列陣qeqe=[u1v1u2v2u3v3]T9單元應(yīng)力σ=Dε=DBqe⑶單元分析單元剛度矩陣根據(jù)虛位移原理，可得單元剛度方程Fe=Keqe其中單元剛度矩陣為Ke=對于三節(jié)點等厚三角形單元，B、D均為常數(shù)矩陣，則單元剛度矩陣可表示為Ke=BTDBtA3、非節(jié)點載荷移置有限元模型是一組僅在節(jié)點連接、僅靠節(jié)點傳力、僅受節(jié)點

5、載荷、僅在節(jié)點處受約束的單元組合體。只有節(jié)點是可以承受載荷與約束的。⑴集中力的移置單元內(nèi)任意一點作用集中力P=[PxPy]T10123PPxPyR1XR1YR2XR2YR3XR3YYXO圖4集中力作用的單元根據(jù)虛位移原理，可得移置到節(jié)點后的載荷Re=NTP此處的N為載荷作用點的形函數(shù)值。虛功原理如下：單元原載荷在虛位移上做的虛功=移置后節(jié)點載荷在相應(yīng)虛位移上做的虛功。⑵體力的移置單元所受的均勻分布體力為PV=[XY]T，則由虛功原理得Re=⑶面力的移置在單元的邊上分布有單位面積上的面力PS=[]T，則由虛功原理得Re=114、整體分析整體剛度矩陣整體剛度矩陣組裝的基本步驟：先求出各個單元的單

6、元剛度矩陣；將單元剛度矩陣中的每個子塊放在整體剛度矩陣中的對應(yīng)位置上，得到單元的擴大剛度矩陣；將全部單元的擴大矩陣相加得到整體剛度矩陣。不失一般性，僅考慮模型中有四個單元，如圖所示，四個單元的整體節(jié)點位移列陣為其中：45123①②③④yox圖5四個單元的模型對每個單元寫出相應(yīng)的單元剛度方程，對于①號單元，有12為了便于組裝整體剛度矩陣，將上式以整體節(jié)點位移表示，即同理，對于單元②，有對于單元③，有13對于單元④，有整體節(jié)點載荷列陣為14整體剛度矩陣為5、邊界條件處理求解整體剛度矩陣是奇異的，必須在整體剛度方程中引進位移邊界條件，消除整體結(jié)構(gòu)的剛體位移，再求解整體剛度方程獲得節(jié)點位移的位移解。

7、下面介紹邊界條件處理與計算結(jié)果整理。⑴對角元素置1法下面以一個只有四個方程的簡單例子加以說明，方程如下：15假定系統(tǒng)中節(jié)點位移u2=0，則引入節(jié)點的已知位移后，方程變?yōu)槿缓?，用這組維數(shù)不變的方程來求解所有的節(jié)點位移。顯然，其解答仍為原方程的解答。⑵乘大數(shù)法大數(shù)M一般取108——1010。已知位移分量u2=c，把此方法用于上面的例子，則原方程變成16⑶計算結(jié)果整理一般情況，節(jié)點由多個單元所共有，而不同單元得到的