切平面和法線幻燈片課件.ppt

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1、設(shè)曲面方程為過(guò)曲面上點(diǎn)任作一條在曲面上的曲線，設(shè)其方程為顯然有在上式兩端對(duì)求導(dǎo)，得過(guò)點(diǎn)與切平面垂直的直線，稱為曲面在點(diǎn)的法線，其方程為該法線的一組方向數(shù)為：綜上所述若曲面方程為則該曲面在點(diǎn)的切平面方程為過(guò)點(diǎn)的法線方程為設(shè)分別為曲面在點(diǎn)的法線與軸正向之間的夾角，那末在點(diǎn)的法線方向余弦為若曲面方程為容易把它化成剛才討論過(guò)的情形：于是曲面在（這里）點(diǎn)的切平面方程為法線方程為若曲面方程為參數(shù)形式：如果由方程組可以確定兩個(gè)函數(shù)：于是可以將看成的函數(shù)，從而可以將問(wèn)題化為剛才已經(jīng)討論過(guò)的情形。代入方程，得因此需分別計(jì)算對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)。將分別對(duì)求導(dǎo)，注意到為的函數(shù)按隱函數(shù)求導(dǎo)法則有解

2、方程組，得法線方程于是曲面在點(diǎn)的切平面方程為例1求球面在點(diǎn)的切平面及法線方程.解設(shè)則所以在點(diǎn)處球面的切平面方程為法線方程曲面的夾角兩個(gè)曲面在交線上某點(diǎn)處的兩個(gè)法線的夾角稱為這兩個(gè)曲面在該點(diǎn)的夾角。如果兩個(gè)曲面在該點(diǎn)的夾角等于90度，則稱這兩個(gè)曲面在該點(diǎn)正交。若兩曲面在交線的每一點(diǎn)都正交，則稱這兩曲面為正交曲面。例2證明對(duì)任意常數(shù)，球面與錐面是正交的。即證明球面的法線方向數(shù)為錐面的法線方向數(shù)為在兩曲面交線上的任一點(diǎn)處，兩法向量的內(nèi)積因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面與錐面正交。解切平面方程為法線方程為解令切平面方程法線方程解設(shè)為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為依題意，切

3、平面方程平行于已知平面，得因?yàn)槭乔嫔系那悬c(diǎn)，所求切點(diǎn)為滿足方程切平面方程