歐幾里得幾何學(xué)的公理體系.docx

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1、資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請聯(lián)系改正或者刪除。歐幾里得幾何學(xué)的公理體系.歐幾里得幾何(Euclidgeometry)起源于古埃及,當(dāng)尼羅河泛濫后,為了重新整理土地而需要進(jìn)行丈量.因此她們用geometry一詞,其原意就是”丈量土地”.自此就開始了對圖形的研究.Euclid《原本》把直到古希臘時(shí)代為止的這些知識(shí)綜合整理出來,而成為一個(gè)邏輯體系.由于這個(gè)《原本》中包含了圖形的知識(shí)、實(shí)數(shù)理論的原型、數(shù)論等,而直接研究圖形的部分最多,因此,中文譯本將書名譯成為《幾何原本》.(”幾何”來自”geo”的音譯)幾何學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)中關(guān)于圖形的數(shù)學(xué)分支.在這一階段,幾何學(xué)

2、就意味著數(shù)學(xué)的全部,古代數(shù)學(xué)家把萌芽中的代數(shù)學(xué)也包括在幾何學(xué)中.”數(shù)”與”形”的結(jié)合,是17世紀(jì)開始的,由于代數(shù)學(xué)、分析學(xué)的發(fā)展,并形成了幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、分析學(xué)等獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支,數(shù)學(xué)家R.Descartes首先建立了解析幾何學(xué),她利用坐標(biāo)系,將圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量之間的問題,并用代數(shù)的計(jì)算方法來處理幾何問題.于是,相對于解析幾何學(xué)來說,不用坐標(biāo)而直接研究圖形的幾何學(xué),稱之為純粹幾何學(xué).純粹幾何學(xué)資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請聯(lián)系改正或者刪除。的進(jìn)一步發(fā)展,就是射影幾何學(xué).十九世紀(jì)出現(xiàn)了羅巴杰夫斯基幾何,這種幾何否定了歐幾里得幾何中的平行線公理.在n維向量空

3、間建立后,幾何體系就綜合成了n維歐幾里得幾何、n維射影幾何、n維非歐幾何.把幾何學(xué)用”群”的觀點(diǎn)統(tǒng)一起來加以論述,也就是”埃爾蘭根綱領(lǐng)(Erlangenprogram,1872)”,德國數(shù)學(xué)家F.Klein的一篇不朽論文):每種幾何學(xué)視為由一個(gè)點(diǎn)集組成的”空間”,以及”由到的變換群”所確定的,研究的子集(圖形)性質(zhì)中對于來說不變的性質(zhì),這就是幾何學(xué).在埃爾蘭根綱領(lǐng)距今已近140年的今天,幾何學(xué)的發(fā)展日新月異,微分幾何學(xué)及其發(fā)展Riemann幾何學(xué)、代數(shù)幾何學(xué),在20世紀(jì)取得輝煌的成就,舉世矚目.歐幾里得幾何學(xué):以平行公理為基礎(chǔ)的幾何

4、學(xué),其公理體系的核心是:”第五共設(shè)”兩條直線與第三條直線相交,在第三條直線一側(cè)的兩個(gè)角(同旁內(nèi)角)之和小于兩直角時(shí),此兩條直線必在此側(cè)相交.資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請聯(lián)系改正或者刪除。它等價(jià)于過不在直線L上的點(diǎn)P且平行于L的直線有且僅有一條.最初,幾何學(xué)的研究對象是圖形,首先要用到空間的直觀性.可是,直觀性有時(shí)缺乏客觀性,必須明確規(guī)定公理、定義,排出直觀,建立純粹的、合乎邏輯的幾何學(xué)思想.《幾何原本》已經(jīng)從事建立公理、定義的工作,但畢竟距今太遠(yuǎn),缺陷很多,公理也不完備.19世紀(jì)后半葉,D.Hilbert(就是在19世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出著名的Hilbe

5、rt的23問題的著名數(shù)學(xué)家,這23個(gè)問題推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的快速發(fā)展)公理體系形成了,它是包含了歐幾里得幾何公理的、更加完善的幾何公理體系.歐幾里得《幾何原本》的簡單介紹——全書共13卷,除第5、7、8、9、10中講述比例和算術(shù)理論外,其余各卷都是關(guān)于幾何內(nèi)容的.第1卷:平行線、三角形、平行四邊形的有關(guān)定理;第2卷:畢達(dá)哥拉斯定理及其應(yīng)用;第3卷:關(guān)于圓的定理;資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請聯(lián)系改正或者刪除。第4卷:圓的內(nèi)接與外切多邊形定理;第6卷:相似理論;第11、12、13卷:立體幾何.《幾何原本》是一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯體系,結(jié)構(gòu)是由定義、共設(shè)、公理、

6、定理組成的演繹推論系統(tǒng).開始給出了23個(gè)定義.前6個(gè)定義是:(1)點(diǎn)沒有大小;(2)線有長度沒有寬度;(3)線的界是點(diǎn);(4)直線上的點(diǎn)是同樣放置的;(5)面只有長度沒有寬度;(6)面的界是線.其次是5個(gè)共設(shè):(1)從任一點(diǎn)到另一點(diǎn)能夠引一直線;(2)有限直線能夠無限延長;(3)以任意點(diǎn)為圓心,可用任意半徑作圓;(4)所有直角都相等;(5)若兩條直線與另一條直線相交,所成的同旁內(nèi)角之和小于二直角,則此兩直線必在這一側(cè)相交.然后是5個(gè)公理:資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請聯(lián)系改正或者刪除。(1)等于同量的量相等;(2)等量加等量其和相等;(3)等量減等量其差

7、相等;(4)可重合的圖形全等;(5)全體大于部分.公理之后是一些重要的命題.要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)——1、”第五共設(shè)”等價(jià)于”平行公理”:2、歐幾里得的《幾何原本》有許多缺點(diǎn),例如幾何邏輯結(jié)構(gòu)還很不嚴(yán)謹(jǐn);對一些定義敘述不夠清晰、甚至含混不清;共設(shè)、公理還很不夠,以至于很多定理的證明要靠幾何直觀,等等.然而,從辯證唯物主義的觀點(diǎn)來看,它依然是一部不朽的著作.19世紀(jì)末,德國數(shù)學(xué)家D.Hilbert于1899年發(fā)表了著名的《幾何基礎(chǔ)》,成功地建立了歐幾里得幾何的完整的公理體系,稱為著名的Hilbert公理體系.希爾伯特的五組公理包含:結(jié)合公理、順序公理、合同公理、平