中心力場第二講.ppt

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1、中心力場的特征：中心力場是球對稱場，勢V(r)幾種特殊中心力場萬有引力場庫侖場——原子結構中占有特別重要的地位各向同性諧振子場無限深球方勢阱原子核結構中占有重要的地位中心力場中運動粒子的特征1．角動量守恒，能量守恒2．能量必是簡單的（角動量為零的態(tài)除外）第二講中心力場哈密頓量角動量對易關系（角動量守恒）構成守恒量的完全集合能量的本征方程在球坐標系下，方程可寫成?取為的共同本征態(tài)一粒子在中心力場中運動的一般描述代入方程（2），得到徑向方程[注]：（1）不同的中心力場V(r)決定不同的波函數(shù)R(r)及能量本征值E。（2）由于中心力場

2、的球對稱，致使徑向方程中不含磁量子數(shù)m，因此能量與m無關。令代入（4），則有[注]：（1）方程（6）類似半壁無限高勢壘中粒子一維運動方程。（2）方程（6）中出現(xiàn)一項由軌道角動量引起的附加勢能——離心勢能。角動量愈大，則離心勢能愈大能級愈高。離心勢能是正定的，因此，中心力場中粒子的基態(tài)必屬于l=0的態(tài)。一般說來，中心力場中粒子的能量是（2l+1）重簡并。兩體問題實際問題中出現(xiàn)的中心力場問題，常為二體問題。設二粒子的質量分別為m1和m2，相互作用勢為二粒子體系的能量本征方程(7)引入質心坐標及相對坐標其中M=m1+m2（總質量）（約

3、化質量）這樣，方程（7）化為令代入（8）式，分離變量后，得（9）（10）其中E=Et-Ec說明：（9）式描述質心運動，是一個自由粒子的波動方程，Ec是質心運動能量，這一部分與我們研究的體系的內部結構無關，常常不考慮。（10）式描述相對運動部分，E是相對運動能量，（10）式與單體波動方程完全一樣，只不過把?理解為約化質量。附同理：同理：二球方勢阱1．無限深球方勢阱此種情況下，徑向方程可寫成V(r)ar（1）（2）令，方程（1）改寫為（3）此為球貝塞爾方程，其兩個特解球貝塞爾函數(shù)球諾伊曼函數(shù)（4）（5）這里，和為半奇數(shù)階Bessel

4、函數(shù)。（4）、（5）可寫成當??0時，因此在r≤a范圍內的徑向波函數(shù)應取為即（6）Cl為歸一化常數(shù)，k由（束縛態(tài)）邊界條件（2）確定有限無限（7）（1）當球方勢阱的半徑為有限值時為l階球Bessel函數(shù)的零點，由此得（8）所以，徑向方程（1）滿足自然定解條件（有限性）及束縛態(tài)條件（2）的解：（9）按歸一化條件求出（10）此時（11）在有限半徑a的無限深方勢阱中運動粒子的能量本征態(tài)（12）能量本征值由及（8）給出（13）是(2l+1)重簡并由于邊界條件自然得到滿足，對k或能量E不再有任何限制，即能量取連續(xù)譜，這相當于自由粒子的情況

5、，由（10），此時，波函數(shù)不能歸一化，但通常選擇徑向波函數(shù)如下：（2）當球方勢阱半徑a→∞時102．有限深球方勢阱V(r)ar考慮束縛態(tài)（E

6、限中，上式還可改為sinkakay=ka/k0ay=-ka/k0a用圖解法作曲線曲線的交點給出其在橫坐標軸上的坐標值，由此及（16）式，給出能量的本征值13附：1．球Bessel函數(shù)的正交性球Bessel函數(shù)的模2．14三、維各向同性諧振子場1．在三維笛卡爾坐標系中求三維各向同性諧振子問題體系的哈密頓算符為（1）schr?dinger方程（2）我們用分離變量法解（2）式，首先（1）式的哈密頓算符可寫為其中令（3）（4）則（2）式可分離成為以下三個方程15（5）（5）式中的每個方程式的形式與一維線性諧振子的定態(tài)Scr?dinger

7、方程相同，這樣可用一維線性諧振子的結果求解（這相當于選擇作為力學量的完全集）（6）16（7）故得三維各向同性線性諧振子的能量本征函數(shù)為（8）相應的能量本征值為（9）（10）17能級簡并度：由（10）式看出，滿足的的值事實上不止一組，這意味著三維諧振子的能級具有簡并特點。對于給定N，有（ny,nz可能取值的數(shù)目）即當N給定時，nx可取0，1，2，…，N等N+1個值。當nx固定時，ny有0，1，2，…，等個取法，nx，ny都取定后，nz只有一種取法，即。所以可能取值的數(shù)目，即量子態(tài)數(shù)目（簡并度）為182、在球極坐極系下求解三維各向同

8、性線性諧振子問題三維各向同性線性諧振子勢哈密頓量定態(tài)Schr?dinger方程（11）由于各向同性，勢能僅與r有關，而與角度?及?無關，故可用分離變量法求解（11）式，令（12）滿足方程19或波函數(shù)中的徑向部分R(r)滿足微分方程（13）令k與?的量綱均為[長度