《中心力場(chǎng)》PPT課件

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1、即角動(dòng)量是守恒量。因而也是守恒量。第五章中心力場(chǎng)§5.1中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)一、角動(dòng)量守恒與徑向方程設(shè)質(zhì)量為m的粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，則哈密頓量算符表示為：對(duì)于勢(shì)能只與r有關(guān)而與θ,?無關(guān)的有心力場(chǎng)，使用球坐標(biāo)求解較為方便。于是H可改寫為：在求解中心力場(chǎng)中粒子的能量本征方程時(shí)，選用為力學(xué)量完全集是很方便的。這是因?yàn)椋寒?dāng)選用了守恒量完全集（，，）來對(duì)態(tài)進(jìn)行分類以后，屬于同一個(gè)能級(jí)的諸簡(jiǎn)并態(tài)的正交性問題將自動(dòng)得到保證。能量本征方程為:考慮到中心力場(chǎng)的特點(diǎn)：球?qū)ΨQ性，選用球坐標(biāo)系是方便的，此時(shí)利用?xz球坐

2、標(biāo)r?y左邊第一項(xiàng)稱為徑向動(dòng)能算符，第二項(xiàng)稱為離心勢(shì)能。H的本征方程此式使用了角動(dòng)量平方算符L2的表達(dá)式：取?:分離變量,徑向方程可寫為：徑向波函數(shù)或的歸一化條件可寫成:，（不慢于）求解方程時(shí)，可作以下替換，使得計(jì)算更方便，令：代入式得：由于波函數(shù)要求有限，所以要求這就是徑向方程的一個(gè)定解條件。（1）不同的中心力場(chǎng)中粒子的能量本征波函數(shù)的差別僅在于徑向波函數(shù)Rl(r)或?l(r)，它們由中心勢(shì)V(r)的性質(zhì)決定。一般而言，中心力場(chǎng)中粒子的能級(jí)至少為2l+1重簡(jiǎn)并的。注意：（2）在一定邊界條件下求解徑向方程，即

3、可得出能量本征值E。對(duì)于非束縛態(tài)，E是連續(xù)變化的。對(duì)于束縛態(tài)，則E取離散值。（3）在求解徑向方程時(shí)，由于束縛態(tài)邊界條件，將出現(xiàn)徑向量子數(shù)nr.二、兩體問題化為單體問題兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2的粒子，相互作用只依賴于相對(duì)距離。這個(gè)二粒子體系的能量本征方程為：ET為體系的總能量。引入質(zhì)心坐標(biāo)和相對(duì)坐標(biāo)?1x+r1r2rR?2Oyz二體運(yùn)動(dòng)可化為：I一個(gè)具有折合質(zhì)量的粒子在場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)II二粒子作為一個(gè)整體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。可以證明：其中——體系的總質(zhì)量，——約化質(zhì)量或折合質(zhì)量。對(duì)兩個(gè)粒子坐標(biāo)的微商變換成對(duì)相對(duì)坐標(biāo)和質(zhì)心坐

4、標(biāo)的微商。則二粒子體系的能量本征方程可化為：此方程可分離變量，令得：分解為二個(gè)本征方程:描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，是能量為EC的自由粒子的能量本征方程，EC是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)能量。即質(zhì)心按能量為EC的自由粒子的方式運(yùn)動(dòng)。這沒有提供與體系內(nèi)部狀態(tài)有關(guān)的任何信息。描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)，E是相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量?？梢钥闯雠c單粒子能量本征方程形式上相同，只不過應(yīng)把m理解為約化質(zhì)量，E理解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量?！?.4氫原子量子力學(xué)發(fā)展史上最突出得成就之一是對(duì)氫原子光譜和化學(xué)元素周期律給予了相當(dāng)滿意得解釋。氫原子是最簡(jiǎn)單的原子，其Schrodinger方程可以

5、嚴(yán)格求解，氫原子理論還是了解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。氫原子的原子核是一個(gè)質(zhì)子，帶電+e，在它的周圍有一個(gè)電子繞著它運(yùn)動(dòng)。它與電子的庫侖吸引能為（取無窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)）這是一個(gè)兩體問題。?1x+r1r2rR?2Oyz具有一定角動(dòng)量的氫原子的徑向波函數(shù)滿足下列方程：邊界條件：?為電子的約化質(zhì)量，me和mp分別為電子和質(zhì)子的質(zhì)量。(1)一、氫原子的能級(jí)氫原子的能量本征值：(2)玻爾半徑：主量子數(shù)：n見110頁：氫原子的能級(jí)圖與En相應(yīng)的歸一化的徑向波函數(shù)為：二、氫原子的波函數(shù)合流超幾何函數(shù)氫原子的束縛態(tài)能量本征函數(shù)

6、為：、定態(tài)波函數(shù)的共同本征函數(shù)。是氫原子體系和主量子數(shù)角動(dòng)量量子數(shù)磁量子數(shù)1、能級(jí)簡(jiǎn)并度氫原子的能級(jí)只與主量子數(shù)n有關(guān)，對(duì)應(yīng)的本征態(tài)因此能級(jí)是簡(jiǎn)并的（除n=1外），簡(jiǎn)并度為討論：2、氫原子核外電子的幾率分布當(dāng)氫原子處于?nlm態(tài)時(shí)，在點(diǎn)周圍的體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的幾率為:人們常常形象地把這個(gè)幾率分布叫做“幾率云”或“電子云”.（1）在(r,r+dr)球殼中找到電子的幾率——徑向概率分布稱為徑向幾率密度或徑向分布函數(shù)。取最大值的半徑稱為最可幾半徑。使例如：氫原子處于基態(tài)，求最可幾半徑?解：令經(jīng)檢驗(yàn)為最大值時(shí)是最可幾

7、半徑所以[1，0][2，0][3，0][4，0]0369121518212427303336r/a0a0Wnl(r)0.60.50.40.30.20.1Wnl(r)~r的函數(shù)關(guān)系[n，l]Rnl(r)的節(jié)點(diǎn)數(shù)nr=n–?–1[2，1][3，1][4，1]04812162024283236404448r/a0a0Wnl(r)0.240.200.160.120.080.04Wnl(r)~r的函數(shù)關(guān)系[n，l]Rnl(r)的節(jié)點(diǎn)數(shù)nr=n–?–1討論：<1>、關(guān)于描述氫原子核外電子分布問題舊量子論：電子在核外作軌道

8、運(yùn)動(dòng)量子力學(xué)：由于電子的波粒二象性使軌道概念失去了意義，氫原子核外電子是以幾率分布的形式出現(xiàn)。<2>、關(guān)于氫原子的第一玻爾軌道半徑量子力學(xué)幾率分布的觀點(diǎn)解釋a的物理意義：當(dāng)氫原子處于1s態(tài)時(shí)，在r=a處找到電子的幾率最大，在ra的區(qū)域仍有電子分布，只不過幾率較小而已。對(duì)r(0?∞)積分Rnl(r)已歸一電子在(θ,?)附近立體角d?=sin?d?d?內(nèi)的幾率右圖示出了各種?,m態(tài)下，W?m