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5、向?qū)?shù)與梯度2.矢量場(chǎng)的通量與散度3.矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度4.無散場(chǎng)和無旋場(chǎng)5.格林定理6.矢量場(chǎng)的惟一性定理7.亥姆霍茲定理8.正交曲面坐標(biāo)系1.標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù):標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。例如標(biāo)量場(chǎng)?在P點(diǎn)沿l方向上的方向?qū)?shù)定義為Pl?梯度:標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向?？梢?，梯度是一個(gè)矢量。在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場(chǎng)?的梯度可表示為式中g(shù)rad是英文字母gradient的縮寫。若引入算符?，它在直角坐標(biāo)系中可表示為則梯度可表示為通量：
6、矢量A沿某一有向曲面S的面積分稱為矢量A通過該有向曲面S的通量，以標(biāo)量?表示，即2.矢量場(chǎng)的通量與散度通量可為正、或?yàn)樨?fù)、或?yàn)榱?。?dāng)矢量穿出某個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場(chǎng)的源；當(dāng)矢量進(jìn)入這個(gè)閉合面時(shí)，認(rèn)為該閉合面中存在匯聚該矢量場(chǎng)的洞（或匯）。閉合的有向曲面的方向通常規(guī)定為閉合面的外法線方向。因此，當(dāng)閉合面中有源時(shí)，矢量通過該閉合面的通量一定為正；反之，當(dāng)閉合面中有洞時(shí)，矢量通過該閉合面的通量一定為負(fù)。所以，前述的源稱為正源，而洞稱為負(fù)源。由物理得知，真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度E通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電量q
7、與真空介電常數(shù)?0之比，即，可見，當(dāng)閉合面中存在正電荷時(shí)，通量為正。當(dāng)閉合面中存在負(fù)電荷時(shí)，通量為負(fù)。在電荷不存在的無源區(qū)中，穿過任一閉合面的通量為零。這一電學(xué)實(shí)例充分地顯示出閉合面中正源、負(fù)源及無源的通量特性。但是，通量僅能表示閉合面中源的總量，它不能顯示源的分布特性。為此需要研究矢量場(chǎng)的散度。散度：當(dāng)閉合面S向某點(diǎn)無限收縮時(shí)，矢量A通過該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場(chǎng)A在該點(diǎn)的散度，以divA表示，即式中div是英文字母divergence的縮寫，?V為閉合面S包圍的體積。上式表明，散度是一個(gè)標(biāo)量，它可理解為通
8、過包圍單位體積閉合面的通量。直角坐標(biāo)系中散度可表示為因此散度可用算符?表示為高斯定理或者寫為從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域V中的場(chǎng)
