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《解函數(shù)問題中的數(shù)學(xué)思想.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、解函數(shù)問題中的數(shù)學(xué)思想山東省棗莊市第九中學(xué)277100秦振數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)知識的精髓，是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。解決函數(shù)問題經(jīng)常用到各種基本數(shù)學(xué)思想，掌握這些數(shù)學(xué)思想有利于提高我們分析問題和解決問題的能力。下面介紹數(shù)學(xué)思想在函數(shù)中的應(yīng)用，供大家參考。一、方程思想方程與函數(shù)聯(lián)系密切，把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程問題,利用方程的性質(zhì)處理，使函數(shù)問題得到解決，這一思想方法就稱為方程思想.例1已知∈，＝－（∈），問可以是偶函數(shù)嗎？可以是奇函數(shù)嗎？為什么。分析由函數(shù)奇偶性的定義知,偶函數(shù)滿足方程＝，奇函數(shù)滿足方程＝－，分別
2、解方程即可。解因為＝－＝－，顯然對∈，∈,＝－≠－＝，所以對任意一個常數(shù)∈，方程＝不成立，即不可能是偶函數(shù)。若要為奇函數(shù)，則＝－,即＝－＝－＝－＋成立，解得＝1。故當＝1時，是奇函數(shù)；不存在使是偶函數(shù).評注此題用方程的思想方法求解，思路清晰、過程簡捷。方程的思想方法是解決函數(shù)問題的常用方法之一.二、對稱思想有些函數(shù)具有對稱性,解決對稱性問題的基本方法是利用圖象上橫坐標與函數(shù)值的關(guān)系，用相關(guān)點來解決.或者利用對稱的代數(shù)性質(zhì)求解。例2如果函數(shù)＝，對任意實數(shù)都有＝，比較、、的大小。分析因為對任意實數(shù)都有＝,所以函數(shù)關(guān)于＝2對稱.然后根據(jù)函數(shù)
3、的對稱性和單調(diào)性求解即可。解由題意知，關(guān)于＝2對稱。故＝.因為函數(shù)在［2,＋∞）上是增函數(shù)，所以＜＜，即＜＜。評注使用對稱的思想方法解決問題，可以化繁為簡，化難為易，使解題過程脈絡(luò)清晰。三、數(shù)形結(jié)合思想圖1xyO1－1在解函數(shù)問題時，可以根據(jù)“式"的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造相應(yīng)的幾何圖形，并通過圖形的性質(zhì)解決函數(shù)問題。例3已知是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,＋∞)上是增函數(shù)，若＝0，＞0,且≠1,解不等式＜0.分析由題意是定義在上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，＋∞)上是增函數(shù)，由＝0，可得大致圖象，如圖1所示，因此在（－∞,0）上是增函數(shù),且＝0,
4、從而可以在＞0，且≠1，條件下解不等式＜0。解由題意可知，在（－∞，0)上是增函數(shù)，且＝0，所以＜0＝,或＜0＝,所以或又因為＞0，且≠1,解不等式組得。評注如果能把函數(shù)問題以“圖形"的形式描述,揭示出命題的幾何特征，就能變抽象為直觀，使抽象思維和形象思維在解題過程中相互轉(zhuǎn)化，使初看很難或很繁的問題變得容易和簡單。四、補集思想對于有些問題，如果從正面求解比較困難，則可以考慮先考慮問題的反面，求出使問題反面成立的集合,則集合的補集即為所求。例4設(shè)函數(shù)、的定義域都是[0，1]，證明：存在、∈[0,1］,使得≥成立。分析問題的反面是：對任意
5、、∈[0，1]，都有＜.為了降低問題的難度，根據(jù)問題的特征，選取一組特殊值證明。證明設(shè)對任意、∈［0，1］，都有＜。取特殊值＝0，＝0;＝1，＝0；＝0,＝1；＝1，＝1可得＜，＜，＜,＜，以上四式相加，得＋＋＋＞＋＋＋≥
6、0－－＋0＋＋＋0＋＋＋1－－
7、＝1。這是不可能的，即假設(shè)是錯誤的。因此，存在、∈[0,1]，使得≥成立。評注使用補集思想解題的關(guān)鍵是正確找到問題的“反面"，也就是確定出全集和補集，再求出問題的“反面”，最后正確地給出問題的結(jié)果.五、分類討論思想它是根據(jù)函數(shù)的特征，確定劃分標準,進行分類，然后對每一類問題分別進行求
8、解,最后綜合給出答案。例5設(shè)定義域上的函數(shù)既是單調(diào)函數(shù)又是奇函數(shù)，若＋＞0對一切∈成立，求實數(shù)的取值范圍。分析由題意可得＞，且函數(shù)在上是單調(diào)的，沒有指出其增減性，因此,要分兩種情況討論。解由已知,得＞－。因為是奇函數(shù)，所以＞。由于函數(shù)在上是單調(diào)的，但沒有指出是遞增還是遞減，所以分兩種情況討論:(1)若單調(diào)遞增，則＞－＋2,即－＋2＜0,此不等式不可能對一切∈成立，故舍去.（2）若單調(diào)遞減,則＜－＋2，即－＋2＞0。因為對一切∈成立，所以△＜0，即－4×2＜0,得－2－1＜＜2－1。綜上所述，所求的范圍是－2－1＜＜2－1。評注使用分類
9、討論思想解題時，劃分標準十分重要，這個標準應(yīng)該是科學(xué)的、合理的，要滿足互質(zhì)、無漏、最簡的原則。六、整體思想整體思想方法，它體現(xiàn)在函數(shù)解題中,不是著眼于函數(shù)的某一性質(zhì)，而是將問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體性質(zhì),達到順利而簡捷解決問題的思想方法。例6設(shè)函數(shù)在(－∞，＋∞）上滿足＝，＝,且在區(qū)間[0，7］上只有＝＝0.（1）試判斷函數(shù)y＝的奇偶性；（2）試求方程＝0在區(qū)間［－2008，2008]上根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。分析如果在每個單調(diào)區(qū)間分別求根比較復(fù)雜，我們可以利用條件整體求根的個數(shù).解(1)由得即.所以.因此函數(shù)的
10、周期T＝10。又＝＝0，而≠0，＝＝≠0，所以≠±,故函數(shù)y＝是非奇非偶函數(shù).（2）由＝＝0，＝＝＝＝0,故在[0，10]和[－10,0］上均有兩個解，從而可知函數(shù)y＝在[0，2008]上有402個解，在[－2008，0
