9 應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)變狀態(tài)分析

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1、9應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)變狀態(tài)分析通過對(duì)前幾章的討論，我們已經(jīng)了解了桿件在基本變形時(shí)橫截面上的應(yīng)力情況。實(shí)際上一點(diǎn)的應(yīng)力情況除與點(diǎn)的位置有關(guān)以外，還與通過該點(diǎn)所截取的截面方位有關(guān)。為了討論一點(diǎn)在不同截面上的應(yīng)力情況，為討論組合變形打下一定的理論基礎(chǔ)，本章介紹：應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)的概念；應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)分析；復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系——廣義虎克定律，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能。在此基礎(chǔ)上介紹強(qiáng)度理論的概念及常用的四種強(qiáng)度理論。9.1應(yīng)力狀態(tài)的概念9.1.1一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)、在不同方位各個(gè)截面上的應(yīng)力情況，稱為該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。判斷一個(gè)受力構(gòu)件

2、的強(qiáng)度，必須了解這個(gè)構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)，即了解各個(gè)點(diǎn)處不同截面的應(yīng)力情況，從而找出哪個(gè)點(diǎn)、哪個(gè)面上正應(yīng)力最大，或剪應(yīng)力最大。據(jù)此建立構(gòu)件的強(qiáng)度條件，這就是研究應(yīng)力狀態(tài)的目的。9.1.2通過單元體分析一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如上所述，應(yīng)力隨點(diǎn)的位置和截面方位不同而改變，若圍繞所研究的點(diǎn)取出一個(gè)單元體（如微小正六面體），因單元體三個(gè)方向的尺寸均為無窮小，所以可以認(rèn)為：單元體每個(gè)面上的應(yīng)力都是均勻分布的，且單元體相互平行的面上的應(yīng)力都是相等的，它們就是該點(diǎn)在這個(gè)方位截面上的應(yīng)力。所以，可通過單元體來分析一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。圖9.1應(yīng)力狀態(tài)的一般情況和已知三個(gè)主應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)9

3、.1.3主應(yīng)力及應(yīng)力狀態(tài)的分類包括受力構(gòu)件內(nèi)的某點(diǎn)，所截取出的單元體，一般來說，各個(gè)面上既有正應(yīng)力，又有剪應(yīng)力（圖9.1a）。以下根據(jù)單元體各面上的應(yīng)力情況，介紹應(yīng)力狀態(tài)的幾個(gè)基本概念。①主平面如果單元體的某個(gè)面上只有正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力，則此平面稱為主平面。②主應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。③主單元體若單元體三個(gè)相互垂直的面皆為主平面，則這樣的單元體稱為主單元體?？梢宰C明：從受力構(gòu)件某點(diǎn)處，以不同方位截取的諸單元體中，必有一個(gè)單元體為主單元體。主單元體在主平面上的主應(yīng)力按代數(shù)值的大小排列，分別用，和表示，即（圖9.1b）。④應(yīng)力狀態(tài)的類型若在一個(gè)點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)

4、力中，只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零，則這樣的應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。若三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)不等于零，則稱為二向應(yīng)力狀態(tài)或平面應(yīng)力狀態(tài)。若三個(gè)主應(yīng)力皆不為零，則稱為三向應(yīng)力狀態(tài)或空間應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)也稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)。二向和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。關(guān)于單向應(yīng)力狀態(tài)，已于第二章中進(jìn)行過討論，本章將重點(diǎn)討論二向應(yīng)力狀態(tài)。圖9.2直桿軸向拉伸時(shí)桿內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)9.2應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例9.2.1直桿軸向拉伸時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)直桿軸向拉伸時(shí)（圖9.2a），圍繞桿內(nèi)任一點(diǎn)A點(diǎn)以縱橫六個(gè)截面取出單元體（圖9.2b），其平面圖則表示在圖9.2c中，單元體的左右兩側(cè)面是桿件橫截

5、面的一部分，其面上的應(yīng)力皆為。單元體的上、中、前、后四個(gè)面都是平行于軸線的縱向面，面上皆無任何應(yīng)力。根據(jù)主單元體的定義，知此單元體為主單元體，且三個(gè)垂直面上的主應(yīng)力分別為圍繞A點(diǎn)也可用與桿軸線成的截面和縱向面截取單元體（圖9.2d），前、后面為縱向面，面上無任何應(yīng)力，而在單元體的外法線與桿軸線成的斜面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力（見第二章）。因此，這樣截取的單元體不是主單元體。由此可見，描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)按不同的方位截取的單元體，單元體各面上的應(yīng)力也就不同，但它們均可表示同一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。9.2.2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，軸的表面上任一點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)圖9.3受扭圓軸表面點(diǎn)A的應(yīng)

6、力狀態(tài)圍繞圓軸上A點(diǎn)（圖9.3a）仍以縱橫六個(gè)截面截取單元體（圖9.3b）。單元體的左、右兩側(cè)面為橫截面的一部分，正應(yīng)力為零，而剪應(yīng)力為由剪應(yīng)力互等定理，知在單元體的上、下兩上，有。因?yàn)閱卧w的前面為圓軸的自由面，故單元體的前、后面上無任何應(yīng)力。單元體面受力如圖9.3（c）所示。由此可見，圓軸受扭時(shí)，A點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。進(jìn)一步的分析表明（見本章例9.1）若圍繞著A點(diǎn)沿與軸線成的截面截取一單元體（圖9.3d），則其斜截面上的剪應(yīng)力皆為零。在外法線與軸線成的截面上，有壓應(yīng)力，其值為。在外法線與軸線成的截面上有拉應(yīng)力，其值為。考慮到前、后面兩側(cè)面無任何應(yīng)

7、力，故圖9.3（d）所示的單元體為主單元體。其主應(yīng)力分別為可見，純剪切應(yīng)力狀態(tài)為二向應(yīng)力狀態(tài)。9.2.3圓筒形容器承受內(nèi)壓作用時(shí)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)圖9.4薄壁圓筒承受內(nèi)壓時(shí)，壁上任一點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)分析當(dāng)圓筒形容器（圖9.4a）的壁厚t遠(yuǎn)小于它的直徑D時(shí)（例如，），稱為薄壁圓筒。若封閉的薄壁圓筒承受的內(nèi)壓力為p，則沿圓筒軸線方向作用于筒底的總壓力為P（圖9.4b），且薄壁圓筒的橫截面積為，因此圓筒橫截面上的正應(yīng)力為（9.1）用相距為l的兩個(gè)橫截面和通過直徑的縱向平面，從圓筒中截取一部分（圖9.4c）。設(shè)圓筒縱向截面上的內(nèi)力為N，正應(yīng)力為，則取圓筒內(nèi)壁上的微面積。內(nèi)

8、壓p在微面積上的壓力為。它在方向的投影