244弧長和扇形面積

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24.4弧長和扇形面積 一、知識要點(diǎn)概述1、弧長公式和扇形面積公式n°的圓心角所對的弧長l和含n°圓心角的扇形的面積公式不要死記硬背，可依比例關(guān)系很快地隨手推來： 這樣就不至于因死記硬背而出錯(cuò)．將弧長公式代入扇形面積公式中，立即得到用弧長和半徑表示的扇形面積公式： 這一公式與三角形面積公式酷似．為了便于記憶，只要把扇形看成一個(gè)曲邊三角形，把弧長l看成底、R看成底邊上的高即可． 2、弓形面積弓形面積可以看作是扇形面積和三角形面積的分解與組合，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)圖形直觀選用下列公式：①當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí),如圖(甲)，S弓形=S扇形OAB－S△AOB； ②當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖(乙)，③當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖(丙)， 3、圓錐的基本特征如圖：①圓錐的軸通過底面的圓心，并且垂直于底面；②圓錐的母線長都相等；③經(jīng)過圓錐的軸的平面被圓錐截得的圖形是等腰三角形． 如圖，△SAB就是一個(gè)經(jīng)過圓錐的軸的截面，簡稱為軸截面，它是一個(gè)等腰三角形，底邊AB是底面圓的直徑，腰是圓錐的母線，高是圓錐的高，它的頂角叫做錐角，錐角的大小反映了圓錐母線對于底面的傾斜程度． 4、圓錐的側(cè)面展開圖圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，其半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓周長．如圖，若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則它的側(cè)面積，即S側(cè)=πrl，∴S全=S側(cè)＋S底=πrl＋πr2=πr(l＋r)． 注意：扇形的弧長就是底面圓的周長，扇形的半徑就是母線長． 二、重難點(diǎn)知識歸納弧長公式、扇形面積公式、圓錐的側(cè)面積和全面積． 三、典型例題賞析例1、如圖，△ABC是正三角形．曲線CDEF…叫做正三角形的漸開線，其中…的圓心依次按A、B、C循環(huán)，它們依次相連結(jié)．如果AB=1，那么曲線CDEF的長是多少？ 例2、若一個(gè)扇形的弧長是12π，它的圓心角是120°，那么這個(gè)扇形的面積是多少？ 例3、如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，且AC=2，∠CAB=30°．求圖中陰影部分面積． 例4、如圖，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=2cm，BC=7cm，AD=3cm，以BC為軸把直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積． 例5、(山西省,2005)如圖是一紙杯，它的母線AC和EF延長后形成的立體圖形是圓錐．該圓錐的側(cè)面展開圖形是扇形OAB．經(jīng)測量，紙杯上開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長EF=8cm．求扇形OAB的圓心角及這個(gè)紙杯的表面積(面積計(jì)算結(jié)果用π表示)． 例6、已知圓錐的底面半徑OA=10cm，母線PA=30cm．由底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)，繞其側(cè)面一周的最短路線的長度是多少？