線性代數(shù)的應(yīng)用及其在實(shí)踐中的應(yīng)用

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1、線性代數(shù)的學(xué)習(xí)和在實(shí)際中的應(yīng)用沈陽藥科大學(xué)工商管理學(xué)院78期張曄摘要：通過對(duì)線性代數(shù)的內(nèi)容概念理論的學(xué)習(xí)，更好的把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際中。線性代數(shù)（LinearAlgebra）是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，線性代數(shù)包括：行列式、矩陣、線性方程組等基礎(chǔ)知識(shí)。它的研究對(duì)象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)主要研究有限維線性空間中的線性關(guān)系和線性映射，具有代數(shù)學(xué)的實(shí)用性和抽象性特點(diǎn)。線性空間和線性變換是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，而矩陣的秩是和這門課程的幾乎所有的內(nèi)容都有聯(lián)系的一

2、個(gè)重要的概念，利用矩陣的初等行變換是解決這門課程絕大部分計(jì)算問題的主要方法。在學(xué)習(xí)過程中挖掘知識(shí)產(chǎn)生的背景和形成過程，抓住矩陣的秩和相關(guān)概念之間的關(guān)系，融會(huì)貫通地掌握該課程的主要內(nèi)容，培養(yǎng)熟練的運(yùn)算能力及嚴(yán)密的邏輯推理能力。下面通過實(shí)例對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用加以說明。問題1生產(chǎn)總值問題一個(gè)城市有三個(gè)重要的企業(yè):一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條地方鐵路。開采一元錢的煤，煤礦必須支付0．25元的運(yùn)輸費(fèi)。而生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠需支付0．65元的煤作燃料，自己亦需支付0．05元的電費(fèi)來驅(qū)動(dòng)輔助設(shè)備和支付0．05元的運(yùn)輸費(fèi)。而提供一元錢的運(yùn)輸費(fèi)，鐵路需支付0．55元的煤作燃料，0．10元

3、的電費(fèi)驅(qū)動(dòng)它的輔助設(shè)備。某個(gè)星期內(nèi)，煤礦從外面接到50000元煤的定貨，發(fā)電廠從外面接到25000元電力的定貨，外界對(duì)地方鐵路沒有要求。問這三個(gè)企業(yè)在那一個(gè)星期內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到多少時(shí)才能精確地滿足它們本身的要求和外界的要求?解對(duì)于一個(gè)星期的周期，x1表示煤礦的總產(chǎn)值，x2表示電廠的總產(chǎn)值，x3表示鐵路的總產(chǎn)值。根據(jù)題意:x1－(0．65x2+0．55x3)=50000x2－(0．25x1+0．05x2+0．1x3)=25000x3－(0．25x1+0．05x2)=25000寫成矩陣形式，得一所以求得煤礦總產(chǎn)值為102087元，發(fā)電廠總產(chǎn)值為56163元，鐵路總產(chǎn)值為283

4、30元。般地，如果問題所涉及的數(shù)據(jù)是以表格形式出現(xiàn)的或者問題可以轉(zhuǎn)化為線性方程組進(jìn)行求解的，這些提供的數(shù)據(jù)常?？梢杂蒙鲜龊喕木匦问奖韥肀硎荆纱艘刖仃嚨母拍?。另外，在習(xí)題中可以安排一些簡單的應(yīng)用題開闊視野和培養(yǎng)應(yīng)用代數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。問題2：成本問題某些產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中能獲得另外幾種產(chǎn)品或副產(chǎn)品，但是對(duì)每種產(chǎn)品的單位成本難以確定，這類問題可以通過幾次測試，列出方程組求解。例如：在一次投料生產(chǎn)中能獲得四種產(chǎn)品，每次測試的總成本如表1所示，試求每種產(chǎn)品的單位成本。解：設(shè)A、B、C、D四種產(chǎn)品的單位成本分別為x1、x2、x3、x4，可列出方程組運(yùn)用行列式解得：x1

5、=10，x2=5，x3=3，x4=2所以A、B、C、D四種產(chǎn)品的單位成本分別為10元/公斤，5元/公斤，3元/公斤，2元/公斤問題3：利潤問題。企業(yè)經(jīng)營幾類商品，由于有些費(fèi)用難以劃分，因此不能確定每:種商品的利潤率，這種情況可以通過不同時(shí)期（或不同門市部）的總利潤，列出方程組求解。例如：某商店經(jīng)營四類商品，四個(gè)月的銷售額及利潤額如表2所示，試求每類商品的利潤率。解設(shè)A、B、C、D四類商品的利潤率分別為x1、x2、x3、x4，可列出方程組將方程組組簡化如下解得x1=0.10，x2=0.08，x3=0.05，x4=0.04。所以A、B、C、D四類商品的利潤率分別為10%，8

6、%，5%，4%。以上實(shí)例只是運(yùn)用了線性代數(shù)中線性方程組和行列式的方法，可以想象，更多精深的數(shù)學(xué)方法應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域中將會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展起到多么大的推動(dòng)作用。問題4：在醫(yī)藥領(lǐng)域應(yīng)用在醫(yī)藥領(lǐng)域也有著很重要的作用。例如：通過中成藥藥方配制問題，達(dá)到理解向量組的線性相關(guān)性、最大線性無關(guān)組向量的線性表示以及向量空間等線性代數(shù)的知識(shí)問題：某中藥廠用9種中草藥（A-I），根據(jù)不同的比例配制成了7種特效藥，各用量成分見表1（單位：克）解：把每一種特效藥看成一個(gè)九維列向量，分析7個(gè)列向量構(gòu)成向量組的線性相關(guān)性。若向量組線性無關(guān)，則無法配制脫銷的特效藥；若向量組線性相關(guān)，并且能找到不含u3,

7、u6的一個(gè)最大線性無關(guān)組，則可以配制3號(hào)和6號(hào)藥品。在Matlab窗口輸入u1=[10;12;5;7;0;25;9;6;8];u2=[2;0;3;9;1;5;4;5;2];u3=[14;12;11;25;2;35;17;16;12];u4=[12;25;0;5;25;5;25;10;0];u5=[20;35;5;15;5;35;2;10;0];u6=[38;60;14;47;33;55;39;35;6];u7=[100;55;0;35;6;50;25;10;20];U=[u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7][U0,r]=rref(U