第8章 平面問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)解

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1、第八章平面問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)解知識(shí)點(diǎn)雙調(diào)和方程的復(fù)變函數(shù)表達(dá)形式應(yīng)力分量復(fù)變函數(shù)表達(dá)式應(yīng)力分量的單值條件多連域的K-M函數(shù)無(wú)窮遠(yuǎn)應(yīng)力與K-M函數(shù)位移分量的曲線坐標(biāo)表達(dá)保角變換公式與K-M函數(shù)柯西積分確定K-M函數(shù)孔口應(yīng)力裂紋前緣應(yīng)力分布雙調(diào)和函數(shù)的復(fù)變函數(shù)形式位移分量的復(fù)變函數(shù)表達(dá)形式位移分量的單值條件無(wú)限大多連域中K-M函數(shù)的一般形式保角變換和曲線坐標(biāo)應(yīng)力分量的曲線坐標(biāo)表達(dá)式利用孔口邊界條件確定K-M函數(shù)橢圓孔口的保角變換裂紋—短軸為零的橢圓切應(yīng)力作用的裂紋前緣應(yīng)力一、內(nèi)容介紹通過(guò)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)系，可以求解一些彈性力學(xué)平面問(wèn)題。但是，這些方法

2、只能用于某些邊界比較特殊的平面問(wèn)題，特別是對(duì)于多連域問(wèn)題更顯得無(wú)能為力。本章介紹復(fù)變函數(shù)解法，實(shí)質(zhì)仍然是在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問(wèn)題，但應(yīng)用中成為在給定的邊界條件下尋找兩個(gè)解析函數(shù)K-M函數(shù)的問(wèn)題。求解分析步驟為：1、分別將應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力分量、位移和邊界條件等表示為復(fù)變函數(shù)形式，就是用K-M函數(shù)表示；2、探討無(wú)限大多連域中，K-M函數(shù)的表達(dá)形式，將其表示為級(jí)數(shù)形式；3、利用保角變換將無(wú)限大多連域映射為單位圓，使得問(wèn)題的邊界條件簡(jiǎn)化；4、將邊界條件轉(zhuǎn)化為柯西積分，求解級(jí)數(shù)系數(shù)，從而使得問(wèn)題求解。如果你還沒(méi)有學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)課程，請(qǐng)你學(xué)習(xí)附

3、錄2或者查閱有關(guān)參考資料。二、重點(diǎn)1、K-M函數(shù)與應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力分量、位移和邊界條件等；2、無(wú)限大多連域的K-M函數(shù)形式；3、保角變換與曲線坐標(biāo)；4、橢圓孔口與平面裂紋問(wèn)題?！?.1應(yīng)力函數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示學(xué)習(xí)思路：42彈性力學(xué)應(yīng)力解法的基本方程是雙調(diào)和方程，問(wèn)題求解的關(guān)鍵是建立滿足邊界條件的雙調(diào)和函數(shù)。對(duì)于復(fù)變函數(shù)解，重要的問(wèn)題是將雙調(diào)和函數(shù)表達(dá)為復(fù)變函數(shù)形式。本節(jié)首先將雙調(diào)和方程表示為復(fù)變函數(shù)形式；然后通過(guò)積分用解析函數(shù)表示雙調(diào)和函數(shù)。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)該注意：應(yīng)力函數(shù)為實(shí)函數(shù)，通過(guò)復(fù)變函數(shù)表達(dá)的雙調(diào)和函數(shù)也是實(shí)函數(shù)，因此應(yīng)力函數(shù)虛部等于零。上述分析

4、的結(jié)果是使得應(yīng)力函數(shù)通過(guò)兩個(gè)單值解析函數(shù)和y(z)表示。和y(z)稱為克羅索夫－穆斯赫利什維利函數(shù)，簡(jiǎn)稱K-M函數(shù)；或者稱為復(fù)位勢(shì)函數(shù)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、雙調(diào)和方程的復(fù)變函數(shù)表達(dá)形式；2、雙調(diào)和函數(shù)的復(fù)變函數(shù)形式1、雙調(diào)和方程的復(fù)變函數(shù)表達(dá)形式在彈性力學(xué)的復(fù)變函數(shù)求解中，應(yīng)力函數(shù)用U（x，y）表示，有其它定義。設(shè)應(yīng)力函數(shù)U（x，y）為雙調(diào)和函數(shù)，首先考慮變形協(xié)調(diào)方程的復(fù)變函數(shù)表達(dá)形式。對(duì)于復(fù)變函數(shù)z=x+iy，取其共軛，則=x-iy。因此z和均為x，y的函數(shù)。復(fù)變函數(shù)z可以寫(xiě)作z=reij，其共軛=re-ij，因此z和又可以表示為坐標(biāo)r和j的函數(shù)

5、。同理，x，y也可以表示為z和的函數(shù)，有因此，應(yīng)力函數(shù)也可以表示為復(fù)變函數(shù)z和的函數(shù)，有注意到應(yīng)力函數(shù)U（x，y）對(duì)坐標(biāo)x，y的導(dǎo)數(shù)也可以表示為對(duì)復(fù)變函數(shù)z和的求導(dǎo)運(yùn)算，有42將上式的后兩式相加，可以得到調(diào)和方程的復(fù)變函數(shù)表達(dá)形式雙調(diào)和方程的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式為2、雙調(diào)和函數(shù)的復(fù)變函數(shù)形式對(duì)于應(yīng)力函數(shù)U（z）的復(fù)變函數(shù)表示。將雙調(diào)和方程的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式乘以2，并對(duì)作積分，可得對(duì)再作一次積分，可得對(duì)z作一次積分，可得對(duì)z再作積分一次，可得應(yīng)力函數(shù)U(z)的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式中，有四個(gè)待定函數(shù)。注意到應(yīng)力函數(shù)為實(shí)函數(shù)，因此公式右邊的復(fù)變函數(shù)的虛部必須為零

6、。所以上述函數(shù)必須是兩兩共軛的，即42或者因此應(yīng)力函數(shù)可以用兩個(gè)待定函數(shù)表示為或者上述公式稱為古爾薩（Goursat）公式。公式將雙調(diào)和函數(shù)通過(guò)兩個(gè)復(fù)變函數(shù)和c(z)表達(dá)。和c(z)稱為克羅索夫－穆斯赫利什維利函數(shù)，簡(jiǎn)稱K-M函數(shù)，均為單值解析函數(shù)。Re為表示復(fù)變函數(shù)實(shí)部的符號(hào)?！?.2應(yīng)力分量的復(fù)變函數(shù)表示學(xué)習(xí)思路：應(yīng)力函數(shù)已經(jīng)通過(guò)K-M函數(shù)表示，但是這還不夠，為了下一步的工作，本節(jié)的工作是將應(yīng)力分量表示為復(fù)變函數(shù)形式，即使用K-M函數(shù)表示應(yīng)力分量。這一工作的主要內(nèi)容是寫(xiě)出K-M函數(shù)對(duì)直角坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，應(yīng)該注意，本章應(yīng)力分量表達(dá)式也是寫(xiě)作復(fù)

7、變函數(shù)表達(dá)形式的。本節(jié)引入復(fù)變函數(shù)，和這主要是簡(jiǎn)化公式的描述，并沒(méi)有增加未知函數(shù)。上述函數(shù)均稱為K-M函數(shù)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、K-M函數(shù)對(duì)直角坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示；2、應(yīng)力分量表達(dá)式1、K-M函數(shù)對(duì)直角坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)的復(fù)變函數(shù)表示對(duì)于無(wú)體力的彈性力學(xué)問(wèn)題。如果選取的應(yīng)力分量滿足42則上述應(yīng)力分量自然是滿足平衡微分方程的。這里的問(wèn)題是選取的應(yīng)力函數(shù)是復(fù)變函數(shù)形式表達(dá)的，而且是由K-M函數(shù)描述的。因此，應(yīng)力分量也必須通過(guò)K-M函數(shù)表達(dá)。根據(jù)公式有將上述兩式相加，可以得到將上式分別對(duì)x和y求一階導(dǎo)數(shù)，可得其中2、應(yīng)力分量表達(dá)式上述公式的第一式減去第二式乘以

8、i，可得42即將公式的第一式加上第二式乘以i，可得取其共軛，則上述公式推導(dǎo)中，引入和。公式是用單值解析函數(shù)和y(z)表示的應(yīng)力分量，自然滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方