數(shù)列求和的基本方法和技巧

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1、數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)。?在高考和各種數(shù)學競賽中都占有重要的地位。?數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分數(shù)列的求和都需要一定的技巧。?下面，就幾個歷屆高考數(shù)學和數(shù)學競賽試題來談談數(shù)列求和的基本方法和技巧。?一、公式法?利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。?1、?差數(shù)列求和公式：?2、等比數(shù)列求和公式：?3、?4、?4、?例?：已知?，求?的前n項和.?解：由?由等比數(shù)列求和公式得?＝?＝?＝1－?解析：如果計算過程中出現(xiàn)了這些關(guān)于n的多項

2、式的求和形式，可以直接利用公式。?二、錯位相減?這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·　bn}的前n項和，其中{?an?}、{?bn?}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。?例：求數(shù)列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,?…(a為常數(shù))的前n項和。?解：若a=0,?則Sn=0?若a=1,?則Sn=1+2+3+…+n=?若a≠0且a≠1?則Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+?nan?∴aSn=?a2+2?a3+3?a4+…+nan+1?∴(1-a)?Sn=a+?a2+?a3+…+

3、an-?nan+1?=?∴Sn=?當a=0時，此式也成立。?∴Sn=?解析：數(shù)列?是由數(shù)列?與?對應項的積構(gòu)成的，此類型的才適應錯位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n項和公式就是用這種方法推導出來的），但要注意應按以上三種情況進行討論，最后再綜合成兩種情況。?三、倒序相加?這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個?。?[例5]?求證：?證明：?設?…………………………..?①?把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得?（反序）?又由?可得?…………..……..?②?①+②

4、得?（反序相加）?∴?解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項之和相等這一特點來進行倒序相加的。?四、分組求和?有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。?例：Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1)?解法：按n為奇偶數(shù)進行分組，連續(xù)兩項為一組。?當n為奇數(shù)時：?Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1)?=2×?+(-2n+1)?=-n?當n為偶數(shù)時：?Sn=(-1+3)+(-5+7)

5、+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)]?=2×?=n?∴Sn=?五、裂項法求和?這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用。?裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：?（1）?（2）?（3）?（4）?（5）?(6)?例：求數(shù)列?，?，?，…，?，…的前n項和S?解：∵?=?）?Sn=?=?=?解析：要先觀察通項類型，在裂項求和，而且要注意剩下首尾兩項，還是剩下象上例中的四項，后面還很可能和極限、求參數(shù)的最大小值聯(lián)系。?六、合并法求和?

6、針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.?例：?數(shù)列{an}：?，求S2002.?解：設S2002＝?由?可得?……?∵?（找特殊性質(zhì)項）?∴　S2002＝?（合并求和）?＝?＝?＝?＝5?七、拆項求和?先研究通項，通項可以分解成幾個等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。?例：求數(shù)5，55，555，…，55…5?的前n項和Sn?解：?因為55…5=?所以?Sn=5+55+555+…+55…5?=?=?=?解析：根據(jù)通項的特點，通項

7、可以拆成兩項或三項的常見數(shù)列，然后再分別求和。?另外：Sn=?可以拆成：Sn=（1+2+3+…+n）+(?)?說明：本資料適用于高三總復習，也適用于高一“數(shù)列”一章的學習。