等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)案例設(shè)計(jì)

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等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)案例設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（5）》（人教A版）中第二章的第三節(jié)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”（第一課時(shí)）．本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用．等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類問(wèn)題．同時(shí)，求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列研究的基本問(wèn)題，通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問(wèn)題方法．二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本性質(zhì)，也對(duì)高斯算法有所了解，這都為倒序相加法的教學(xué)提供了基礎(chǔ)；同時(shí)學(xué)生已有了函數(shù)知識(shí)，因此在教學(xué)中可適當(dāng)滲透函數(shù)思想．高斯的算法與一般的等差數(shù)列求和還有一定的距離，如何從首尾配對(duì)法引出倒序相加法，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙．三、設(shè)計(jì)思想

1建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，因此，應(yīng)該讓學(xué)生在具體的問(wèn)題情境中經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)．在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從介紹高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法．通過(guò)設(shè)計(jì)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的問(wèn)題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過(guò)生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式，讓學(xué)生在問(wèn)題解決中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．同時(shí)根據(jù)我校的特點(diǎn)，為了促進(jìn)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，還設(shè)計(jì)了選做題和探索題，進(jìn)一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點(diǎn)分析、解決問(wèn)題的能力，達(dá)到了分層教學(xué)的目的．四、教學(xué)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程；掌握并能熟練運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；了解倒序相加法的原理；2.通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，滲透函數(shù)思想與方程（組）思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、反思的能力；通過(guò)小組討論學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)．五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是探索并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問(wèn)題；難點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得．六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情景，喚起學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的感悟和體驗(yàn)

2世界七大奇跡之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層，你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？體展示三角形圖案）[設(shè)計(jì)意圖]情境學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是與一定的知識(shí)背景，即“情境”　相聯(lián)系．從實(shí)際問(wèn)題入手，圖中蘊(yùn)含算數(shù)，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的興趣，并且可引導(dǎo)學(xué)生共同探討高斯算法更一般的應(yīng)用，為新課的講解作鋪墊．[知識(shí)鏈接]高斯，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。200多年前，高斯的算術(shù)教師提出了下面的問(wèn)題：1＋2＋3＋…+100＝？據(jù)說(shuō)，當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí)，10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.[學(xué)情預(yù)設(shè)]

3高斯的算法蘊(yùn)涵著求等差數(shù)列前n項(xiàng)和一般的規(guī)律性．教學(xué)時(shí)，應(yīng)給學(xué)生提供充裕的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自己去觀察、探索發(fā)現(xiàn)這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律．學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配對(duì)的方法來(lái)求和，但估計(jì)他們對(duì)這種方法的認(rèn)識(shí)可能處于記憶階段，為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法的進(jìn)一步理解，設(shè)計(jì)了以下三道由易到難的問(wèn)題．（二）由易到難，在自主探究與合作中學(xué)習(xí)問(wèn)題1圖案中，第1層到第51層一共有多少顆寶石？該題組織學(xué)生分組討論，在合作中學(xué)習(xí)，并把小組發(fā)現(xiàn)的方法一一呈現(xiàn)．[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生可能出現(xiàn)以下求法方法1：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51方法3：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26以上方法實(shí)際上是用了“化歸思想”，將奇數(shù)個(gè)項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求解，教師應(yīng)進(jìn)行充分肯定與表?yè)P(yáng)．[設(shè)計(jì)意圖]這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問(wèn)題，若簡(jiǎn)單地摹仿高斯算法，將出現(xiàn)不能全部配對(duì)的問(wèn)題，借此滲透化歸思想．問(wèn)題2：求圖案中從第1層到第n層（1＜n＜100，n∈N*）共有多少顆寶石？[學(xué)情預(yù)設(shè)]學(xué)生通過(guò)激烈的討論后，發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)時(shí)不能配對(duì)，可能會(huì)分n為奇數(shù)、偶數(shù)的情況分別求解，教師如何引導(dǎo)學(xué)生避免討論成為該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵．

4[設(shè)計(jì)意圖]從求確定的前n個(gè)正整數(shù)之和到求一般項(xiàng)數(shù)的前n個(gè)正整數(shù)之和，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)從特殊到一般的研究方法，旨在讓學(xué)生對(duì)“首尾配對(duì)求和”這一算法的改進(jìn)．啟發(fā)：（多媒體演示）如右圖，在三角形圖案右側(cè)倒放一個(gè)全等的三角形與原圖補(bǔ)成平行四邊形．[設(shè)計(jì)意圖]借助幾何圖形的直觀性，能啟迪思路，喚醒學(xué)生記憶深處的東西，并為倒序相加法的出現(xiàn)提供了一個(gè)直接的模型．通過(guò)以上啟發(fā)學(xué)生再自主探究，相信容易得出解法：∵1+　2+　3+…（n－1）+nn+（n－1）+（n－2）+…+2+1____________________________________________________________________(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)∴1+2+3+…+n=問(wèn)題3：在公差為d的等差數(shù)列{an}中，定義前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？由前面的大量鋪墊，學(xué)生應(yīng)容易得出如下過(guò)程：∵Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n－1)d]

5Sn=an+(an－d)+（an－2d）+…+[an－(n－1)d]∴(公式1)組織學(xué)生討論：在公式1中若將an=a1+（n－1）d代入又可得出哪個(gè)表達(dá)式?即：（公式2）（三）設(shè)置典例，促進(jìn)學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用對(duì)于以上兩個(gè)公式，初學(xué)的學(xué)生在解決一些問(wèn)題時(shí)，往往不知道該如何選取．教師應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)睦右龑?dǎo)學(xué)生對(duì)這兩個(gè)公式進(jìn)行分析，根據(jù)公式各自的特點(diǎn)，幫助學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的公式．例1為了參加冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)的5000m長(zhǎng)跑比賽，某同學(xué)給自己制定了7天的訓(xùn)練計(jì)劃（單位：m）如下表：5000550060006500700075008000問(wèn)這個(gè)同學(xué)7天一共將跑多長(zhǎng)的距離？[設(shè)計(jì)意圖]該例題是將課本P53習(xí)題2.3A組第3題改編成表格形式，可以鍛煉學(xué)生處理數(shù)據(jù)信息的能力和選用公式的能力。學(xué)生可以從首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，選用公式1；也可以從首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)出發(fā)，選用公式2，通過(guò)兩種方法的比較，引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)注意選擇適當(dāng)?shù)墓?，以便于?jì)算．例2已知等差數(shù)列5，4，3，…求(1)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

6(2)數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為？(3)Sn的最大值為多少？并求出此時(shí)相應(yīng)的n的值。[設(shè)計(jì)意圖]通項(xiàng)公式與求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五個(gè)基本元素，如果已知其中三個(gè)，就可求其余兩個(gè)，主要是訓(xùn)練學(xué)生的方程（組）思想。第（3）小題是讓學(xué)生初步接觸用函數(shù)觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題，為以后函數(shù)與數(shù)列的綜合打下基礎(chǔ)．[知識(shí)鏈接]（1）由若令可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是在常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)圖象上，可由二次函數(shù)的知識(shí)解決的最值問(wèn)題；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和（），則數(shù)列一定是等差數(shù)列；（3）由，可知，點(diǎn)在直線上；（4）在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，最小。（四）反饋調(diào)控，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握練習(xí)1已知等差數(shù)列｛an｝的前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)的和是1220，求前n項(xiàng)和Sn.練習(xí)2等差數(shù)列｛an｝中，a1=－4，a8=－18，n=8，求公差d及前n項(xiàng)和Sn.選做題已知函數(shù)f（x）=，則f（-5）+f（-4）+……+f（0）+……+f（5）+f（6）的值為

7[設(shè)計(jì)意圖]分層練習(xí)使學(xué)生在完成必修教材基本任務(wù)的同時(shí)，拓展自主發(fā)展的空間，讓每一個(gè)學(xué)生都得到符合自身實(shí)踐的感悟，使不同層次的學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而實(shí)現(xiàn)“以人為本”的教育理念．（五）回顧反思，深化知識(shí)組織學(xué)生分組共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法，小組之間互相補(bǔ)充完成課堂小結(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的再次深化．1.從特殊到一般的研究方法；2.體會(huì)倒序相加的算法，掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式，領(lǐng)會(huì)方程（組）思想；3.前n項(xiàng)和公式的函數(shù)意義4、用梯形面積公式記憶等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；[知識(shí)鏈接]

8（六）布置作業(yè)1.課本P52習(xí)題2．3，第1題（1）（3），第2題（3）（4），第5題2.探索題（1）數(shù)列{}的前n項(xiàng)和=+++…+，求；（2）若公差為d(d≠0）的等差數(shù)列{}中，=+++…+，你能否由題（1）的啟發(fā)，得到的表達(dá)式？七、教學(xué)反思“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的推導(dǎo)不只一種方法，本節(jié)課是通過(guò)介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和．該方法反映了等差數(shù)列的本質(zhì)，可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的理解，而且該推導(dǎo)過(guò)程體現(xiàn)了人類研究、解決問(wèn)題的一般思路．本節(jié)課教學(xué)過(guò)程的難點(diǎn)在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法”這一思路．為了突破這一難點(diǎn)，在教學(xué)中采用了以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，設(shè)計(jì)的三個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了分析、解決問(wèn)題的一般思路，即從特殊問(wèn)題的解決中提煉方法，再試圖運(yùn)用這一方法解決一般問(wèn)題．在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)教師的層層引導(dǎo)、學(xué)生的合作學(xué)習(xí)與自主探究，尤其是借助圖形的直觀性，學(xué)生“倒序相加法”思路的獲得就水到渠成了．

9點(diǎn)評(píng)本節(jié)課以故事引課，增強(qiáng)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和熱情。以問(wèn)題為紐帶，通過(guò)三個(gè)問(wèn)題組織學(xué)生討論，由特殊（自然數(shù)的前51項(xiàng)和）到一般（自然數(shù)的前幾項(xiàng)和），再到一類（等差數(shù)列前幾項(xiàng)和），循序漸進(jìn)。通過(guò)類比Causs配對(duì)求和方法，借助幾何直觀，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，討論交流，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行層層遞進(jìn)的探究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式，從中深刻領(lǐng)會(huì)推導(dǎo)過(guò)程所蘊(yùn)涵的邏輯推理方法和數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、尖銳性和批判性。通過(guò)精選例題，分層次練習(xí)，使學(xué)生既鞏固了知識(shí)又形成了技能。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)。必須指出的是，在用Causs配對(duì)法得到前幾項(xiàng)和公式后，如能對(duì)此方法做更深入分析，指出其實(shí)質(zhì)是等差數(shù)列的重要性質(zhì)——等距性（即∈N,m+n=k+l,則am+an=a+a）的應(yīng)用，在作業(yè)中的探索題中如能加上：數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求sn=a1a2+a2a3+…+anan+1則可得到一類問(wèn)題（由等差連續(xù)項(xiàng)或連續(xù)項(xiàng)倒數(shù)）組成的數(shù)列求和問(wèn)題的解決，深化學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題的理解。