江蘇省百校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次考數(shù)學(xué)Word版含解析

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江蘇省百校聯(lián)考高三年級(jí)第一次考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.設(shè)向量，是互相垂直的單位向量，則與向量垂直的一個(gè)單位向量是（）A.B.C.D.4.埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時(shí)期著名的地理學(xué)家，他最出名的工作是計(jì)算了地球（大圓）的周長(zhǎng).如圖，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽(yáng)幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進(jìn)該處一井內(nèi)而得到證明的）.同時(shí)在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線上），其天頂方向與太陽(yáng)光線的夾角測(cè)得為.因太陽(yáng)距離地球很遠(yuǎn)，故可把太陽(yáng)光線看成是平行的.埃拉托斯特尼從商隊(duì)那里知道兩個(gè)城市間的實(shí)際距離大概是5000斯塔蒂亞，按埃及的長(zhǎng)度算，1斯塔蒂亞等于157.5米，則埃拉托斯特尼所測(cè)得地球的周長(zhǎng)約為（）A.38680千米B.39375千米C.41200千米D.42192千米5.已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（）A.－4B.4C.5D.86.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A.3B.2C.1D.-16-

17.若將整個(gè)樣本空間想象成一個(gè)的正方形，任何事件都對(duì)應(yīng)樣本空間的一個(gè)子集，且事件發(fā)生的概率對(duì)應(yīng)子集的面積，則如圖所示的涂色部分的面積表示（）A.事件發(fā)生的概率B.事件發(fā)生的概率C.事件不發(fā)生條件下事件發(fā)生的概率D.事件，同時(shí)發(fā)生的概率8.已知，，，則（）A.B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法正確的有（）A.已知一組數(shù)據(jù)7，7，8，9，5，6，8，8，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8B.已知一組數(shù)據(jù)，，，…，的方差為2，則，，，…，的方差為2C.具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則D.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則10.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.在上的值域?yàn)镈.在上單調(diào)遞增11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，則（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.-16-

2C.四面體的外接球體積為D.平面截正方體所得的截面是四邊形12.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)數(shù)列單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.展開式中的系數(shù)為_________.14.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，將角的終邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，經(jīng)過點(diǎn)，則_________.15.已知函數(shù)，.若函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.16.祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢(shì)既同，則積不容異”的體積計(jì)算原理，即“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平而的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.現(xiàn)已知直線與雙曲線及其漸近線圍成的平面圖形如圖所示.若將圖形被直線所截得的兩條線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)面的面積_________；若將圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積_________.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）-16-

3從①，②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.已知數(shù)列滿足，_________.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：若選兩個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.18.（12分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，.（1）若的周長(zhǎng)為，求，的值；（2）若的面積為，求的值.19.（12分）近年來，師范專業(yè)是高考考生填報(bào)志愿的熱門專業(yè).某高中隨機(jī)調(diào)查了本校2022年參加高考的90位文科考生首選志愿（第一個(gè)院校專業(yè)組的第一個(gè)專業(yè)）填報(bào)情況，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，首選志愿填報(bào)與性別情況如下表：（單位：人）首選志愿為師范專業(yè)首選志愿為非師范專業(yè)女性2535男性525（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù).能否有95%的把握認(rèn)為首選志愿為師范專業(yè)與性別有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，用本次調(diào)研中首選志愿樣本的頻率代替首選志愿的概率，從2022年全國(guó)文科考生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)被抽取的3人中首選志愿為師范專業(yè)的人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面底面，，且，分別為，的中點(diǎn).-16-

4（1）證明：平面.（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21.（12分）設(shè)為橢圓：的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）在軸上是否存在異于的定點(diǎn)，使為定值（其中，分別為直線，的斜率）？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.22.（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.江蘇省百校聯(lián)考高三年級(jí)第一次考試數(shù)學(xué)參考答案-16-

5第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.【答案】A【解析】，，選A.2.【答案】D【解析】位于第四象限，選D.3.【答案】C【解析】，是相互垂直的單位向量，由是與垂直的單位向量，選C.4.【答案】B【解析】設(shè)地球半徑為，則，∴，選B.5.【答案】C【解析】的解集為，則，且，是方程的兩根，，∴，，，∴，選C.6.【答案】A【解析】設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，，∴，∴，∴，選A.7.【答案】B【解析】圖中陰影既有發(fā)生的情況，又有不發(fā)生的情況，排除ACD，選B.8.【答案】D-16-

6【解析】且，，∴最大構(gòu)造，，∴，∴在上，∴，即，∴，選D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.【答案】BD【解析】5，6，7，7，8，8，8，9中位數(shù)為7.5，A錯(cuò).，，…，方差為2，則，，…，方差為2，B正確.，則，C錯(cuò)，選BD.10.【答案】ABD【解析】相鄰兩對(duì)稱軸間距離為，則，∴，∴，，，關(guān)于對(duì)稱，A對(duì).關(guān)于軸對(duì)稱，B對(duì).，則，則，，∴，C錯(cuò)誤.，∴，的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為，而，∴在，D對(duì).11.【答案】BC【解析】建系，，，，，A錯(cuò).，，，∴，B正確；-16-

7外接球半徑，，∴，C正確；截面為五邊形，D錯(cuò)誤.12.【答案】ACD【解析】方法一：，①時(shí)，，②①－②，，A正確；時(shí)，，即；時(shí)，，∴，時(shí)，不滿足條件，B錯(cuò)誤；時(shí)，為奇數(shù)時(shí)是首項(xiàng)為0，公差為2的等差數(shù)列，共25項(xiàng)；為偶數(shù)時(shí)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，共25項(xiàng)，所以，C正確；是單調(diào)遞增數(shù)列，∴，即，即；，即，即；，即，即，即，，即依次類推可知，D正確.方法二：，①當(dāng)時(shí)，，②，∴時(shí)①－②，即，A正確；，∴，由于未知，B錯(cuò)誤.-16-

8，，∴，C正確；對(duì)于D，∵，分別遞增，要使，只需，而，，，∴，D正確；選ACD.對(duì)于D，法三：由，，要使，則必有且，∴且，D正確，選ACD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.【答案】26【解析】展開式第項(xiàng)，，，，，∴展開式中系數(shù)26.14.【答案】15.【答案】【解析】直線過定點(diǎn)，過四個(gè)象限與在正負(fù)半軸都有兩個(gè)交點(diǎn)，過作的切線，切點(diǎn)設(shè)為，，，切線過，時(shí)，時(shí)，斜率為1.∴與軸交于，，∴.-16-

916.【答案】；【解析】如圖所示，雙曲線，，，，.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.【解析】（1）選①，由及，可知，所以，當(dāng)時(shí)，有.當(dāng)時(shí)，，故.選②，由，得，所以為等差數(shù)列，由，，得該數(shù)列的公差，所以.（2），∴，-16-

10∴.18.【解析】（1）因?yàn)?，，所以①在中，由余弦定理得，即②由①②得?由①③得.（2）由，得，由正弦定理，得，，所以，即.19.【解析】（1），∴有95%的把握認(rèn)為首選志愿為師范專業(yè)與性別有關(guān).（2）某個(gè)考生首選志愿為師范專業(yè)的概率，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，∴的分布列如下：0123∴，.或由的二項(xiàng)分布知，.-16-

1120.【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，，∵為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，取中點(diǎn)，連接，∴，平面，∴，，∴，∴，，如圖建系，∴，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，∴，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，∴.21.【解析】解析一：（1）設(shè)直線的方程為，，，，-16-

12，，∴，∴，或設(shè)，，∴，即.（2）假設(shè)存在符合題意，則易知當(dāng)軸時(shí)，，此時(shí)，這個(gè)定值一定為－1.當(dāng)時(shí)，，∴，∴存在符合題意.解析二：（1）設(shè)，.由，得，即，-16-

13因?yàn)?，在橢圓上，所以，解得，所以.（2）假設(shè)在軸上存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得為定值.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，由韋達(dá)定理，得，，所以.所以.要使為定值，則，解得或（舍去），此時(shí).故在軸上存在異于的定點(diǎn)，使得為定值.22.【解析】解析一：（1）時(shí)，，，，切點(diǎn)，切線方程為.（2）法一：，，，-16-

14∴，∴.法二：必要性探路（端點(diǎn)效應(yīng)）由，，，，，若，即時(shí)，則存在，使得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上，∴，這與矛盾，舍去.若，即時(shí)，，在上∴，∴在上，∴符合題意，綜上：.法三：由，得，.構(gòu)造函數(shù)，，則恒成立.構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，得，即當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，故.法四：由題意得，，令，，則.①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，得-16-

15，即，所以在上單調(diào)遞增，得.故當(dāng)時(shí)，.②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，所以存在唯一，使得.當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，又，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，不符合題意.故的取值范圍為.-16-