2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第25講簡(jiǎn)單的三角恒等變換精品講義Word版含解析.docx

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第25講　簡(jiǎn)單的三角恒等變換?考點(diǎn)1三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) [名師點(diǎn)睛]1．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“3看”原則2．三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次．[典例]?。?022·湖南·臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則＝（???????）A．B．C．D．5[舉一反三]　1．（2022·江蘇·泰興市第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡(jiǎn)可得（???????）A．B．C．D．2．（2022·山東泰安·高三期末）已知，則的值為___________.3．（2020·全國·高三專題練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.（2）化簡(jiǎn)：(0<α<π)＝________.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：(0<θ<π)． 5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：（1）（2）?考點(diǎn)2三角函數(shù)式的求值[名師點(diǎn)睛]三角函數(shù)變換常用技巧(1)給角求值問題要充分觀察并利用所給角與特殊角的關(guān)系，給值求值要著眼于所求角與已知角的和、差或倍數(shù)關(guān)系，兩者的關(guān)鍵都在于“變角”．(2)給值求角問題的解題策略 ①求相關(guān)角的某一個(gè)三角函數(shù)值．②由求得的三角函數(shù)值求角，如果根據(jù)求得的函數(shù)值無法唯一確定角的大小，應(yīng)根據(jù)已知角的范圍和已知角的三角函數(shù)值把所求角的大小作相對(duì)精確的估計(jì)，以排除多余的解．[典例]　1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）___________.2．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（???????）A．B．C．D．3．（2022·湖北襄陽·高三期末）已知，則（???????）A．B．C．D．4．（2022·江蘇省江陰高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知且，則=（?????）A．B．C．D．或[舉一反三]　1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)（???????）A．B．C．D．22．（2022·廣東汕頭·二模）若，則實(shí)數(shù)的值為（???????）A．B．C．D．3．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知，則(???????)A．B．C．D．4．（2022·福建·莆田二中高三開學(xué)考試）已知，則（???????）A．B．C．D．5．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知且，則（???????）A．B．C．D．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在有五個(gè)正方形拼接而成的圖形中，（???????） A．B．C．D．7．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則（???????）A．B．C．D．8．（多選）（2022·河北張家口·高三期末）已知，，則（???????）A．B．C．D．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)______．10．（2022·廣東佛山·二模）已知sin，則___________.11．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則______．12．（2022·河北石家莊·一模）已知角，，則______.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知都是銳角，且.（1）求的值；（2）求的值. 14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知．（1）求的值；（2）若，且，求．?考點(diǎn)3三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]解決三角恒等變換與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟第一步：將f(x)化為asinx＋bcosx的形式；第二步：構(gòu)造f(x)＝·；第三步：和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ為輔助角)；第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函數(shù)的性質(zhì)；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范．[典例]　1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，分別是內(nèi)角，，所對(duì)的 邊，若，那么一定是（???????）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等邊三角形2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC．(1)求A的大??；(2)若a＝，請(qǐng)?jiān)谌缦碌娜齻€(gè)條件：①sinB-sinC＝；②b＋2c＝3；③△ABC的面積為中選擇一個(gè)作為已知，求△ABC的周長(zhǎng)．[舉一反三]　1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，若，則△ABC為（???????）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是（???????）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰直角三角形C．若，則是直角三角形D．若，則是等邊三角形 第25講　簡(jiǎn)單的三角恒等變換 ?考點(diǎn)1三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)[名師點(diǎn)睛]1．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“3看”原則2．三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次．[典例]?。?022·湖南·臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則＝（???????）A．B．C．D．5【答案】A【解析】因?yàn)?，又因?yàn)椋?，故選:A[舉一反三]　1．（2022·江蘇·泰興市第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡(jiǎn)可得（???????）A．B． C．D．【答案】D【解析】．故選：D2．（2022·山東泰安·高三期末）已知，則的值為___________.【答案】【解析】=，故，故答案為：3．（2020·全國·高三專題練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.（2）化簡(jiǎn)：(0<α<π)＝________.【答案】????sin(α＋γ).????cosα.【解析】（1）sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).（2）原式＝＝＝.因?yàn)?<<π，所以0<，所以cos>0，所以原式＝cos.故答案為：sin(α＋γ)；cos 4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：(0<θ<π)．【解】由θ(0,π)，得0<<，則cos>0．又，且(1＋sinθ＋cosθ)＝＝2cos＝－2coscosθ．∴原式＝．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：（1）（2）【解】（1）；（2）原式?考點(diǎn)2三角函數(shù)式的求值[名師點(diǎn)睛]三角函數(shù)變換常用技巧 (1)給角求值問題要充分觀察并利用所給角與特殊角的關(guān)系，給值求值要著眼于所求角與已知角的和、差或倍數(shù)關(guān)系，兩者的關(guān)鍵都在于“變角”．(2)給值求角問題的解題策略①求相關(guān)角的某一個(gè)三角函數(shù)值．②由求得的三角函數(shù)值求角，如果根據(jù)求得的函數(shù)值無法唯一確定角的大小，應(yīng)根據(jù)已知角的范圍和已知角的三角函數(shù)值把所求角的大小作相對(duì)精確的估計(jì)，以排除多余的解．[典例]　1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）___________.【答案】【解析】.故答案為：.2．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（???????）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以?故選：B.3．（2022·湖北襄陽·高三期末）已知，則（???????）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵,∴ .故選：B．4．（2022·江蘇省江陰高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知且，則=（?????）A．B．C．D．或【答案】C【解析】因，則，，因，，則，又，有，于是得，因此，，所以.故選：C[舉一反三]　1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)（???????）A．B．C．D．2【答案】B【解析】原式．故選：B． 2．（2022·廣東汕頭·二模）若，則實(shí)數(shù)的值為（???????）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知可得.故選：A.3．（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知，則(???????)A．B．C．D．【答案】B【解析】，，∴．故選：B．4．（2022·福建·莆田二中高三開學(xué)考試）已知，則（???????）A．B．C．D．【答案】C【解析】解法1：由，得，兩邊平方，得，解得，解法2：由，得，即，解得.解法3：由，得， 即，則，解得或，于是.解法4：.故選：C.5．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）已知且，則（???????）A．B．C．D．【答案】B【解析】因且，可知為銳角，為鈍角，故，，，，，所以．故選：B6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在有五個(gè)正方形拼接而成的圖形中，（???????）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：由圖可得，，，， 因?yàn)椋?，所以．故選：．7．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則（???????）A．B．C．D．【答案】AC【解析】依題意，，，，，，代入，，化簡(jiǎn)得，兩邊除以，，，解得或.故選：AC8．（多選）（2022·河北張家口·高三期末）已知，，則（???????）A．B．C．D． 【答案】BD【解析】，故，所以或，故或.又，所以或，故選：BD.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)______．【答案】【解析】．故答案為：．10．（2022·廣東佛山·二模）已知sin，則___________.【答案】【解析】所以所以故答案為：11．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則______．【答案】【解析】由題知，則，即，即，即 ，則或，．因?yàn)?，所以，所以，解得．故答案為?2．（2022·河北石家莊·一模）已知角，，則______.【答案】【解析】，，，，，，，，則.故答案為：.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知都是銳角，且.（1）求的值；（2）求的值.【解】（1）由是銳角，且，則.所以，.（2）由則，故. 14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知．（1）求的值；（2）若，且，求．【解】（1），解得；（2）由兩角差的正切公式得.，因此，.?考點(diǎn)3三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]解決三角恒等變換與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟第一步：將f(x)化為asinx＋bcosx的形式；第二步：構(gòu)造f(x)＝·；第三步：和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ為輔助角)；第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函數(shù)的性質(zhì)；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范．[典例]　1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，分別是內(nèi)角，，所對(duì)的邊，若，那么一定是（???????）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等邊三角形【答案】B【解析】在中，，則，而，則有，即， 因，即，因此，，即，所以是等腰三角形.故選：B2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知tanA＋tanB＋tanC＝tanBtanC．(1)求A的大??；(2)若a＝，請(qǐng)?jiān)谌缦碌娜齻€(gè)條件：①sinB-sinC＝；②b＋2c＝3；③△ABC的面積為中選擇一個(gè)作為已知，求△ABC的周長(zhǎng)．【解】(1)在中，∵∴，整理得，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，由題知，，∴tanA＝，∵A∈(0，π)，∴；(2)若選①，則由，解得而，解得bc＝1，∴∴△ABC的周長(zhǎng)為若選②，，b2＋c2－2bc×＝3，則，∴(7c－8)(c－)＝0，∴c＝或c＝．當(dāng)c＝時(shí)，b＝，此時(shí)△ABC周長(zhǎng)為＋＋＝，當(dāng)c＝時(shí)，，此時(shí)△ABC周長(zhǎng)為3；若選③，bc×sin＝，解得bc＝3，b2＋c2－2bc×＝3，解得(b＋c)2－3bc＝3，b＋c＝2，∴△ABC周長(zhǎng)為3．[舉一反三]　1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，若，則△ABC為（???????）A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由題意，，又，∴，即，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，則；∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.故選：D2．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是（???????）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰直角三角形C．若，則是直角三角形D．若，則是等邊三角形【答案】AD【解析】對(duì)于A，，，又由A，B，C是的內(nèi)角，故內(nèi)角都是銳角，故A正確對(duì)于B，若，則，則，則，則或，是等腰三角形或直角三角形,故B錯(cuò)誤對(duì)于C,，，即，則是等腰三角形，故C不正確對(duì)于D，若，則，則，，即是等邊三角形，故D正確故選：AD