《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課后習題答案.doc

《《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課后習題答案.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在應用文檔-天天文庫。

20概率論，數(shù)理統(tǒng)計習題詳解習題1.1解答1.將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”。試寫出樣本空間及事件中的樣本點。解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）(正，正)，（正，反）；（正，正），（反，反）(正，正)，（正，反），（反，正）2.在擲兩顆骰子的試驗中，事件分別表示“點數(shù)之和為偶數(shù)”，“點數(shù)之和小于5”，“點數(shù)相等”，“至少有一顆骰子的點數(shù)為3”。試寫出樣本空間及事件中的樣本點。解：；；；；；3.以分別表示某城市居民訂閱日報、晚報和體育報。試用表示以下事件：（1）只訂閱日報；（2）只訂日報和晚報；（3）只訂一種報；（4）正好訂兩種報；（5）至少訂閱一種報；（6）不訂閱任何報；（7）至多訂閱一種報；（8）三種報紙都訂閱；（9）三種報紙不全訂閱。解：（1）；（2）；（3）；（4）;（5）；（6）；（7）或（8）；（9）4.甲、乙、丙三人各射擊一次，事件分別表示甲、乙、丙射中。試說明下列事件所表示的結果：,,,,,.解：甲未擊中；乙和丙至少一人擊中；甲和乙至多有一人擊中或甲和乙至少有一人未擊中；甲和乙都未擊中；甲和乙擊中而丙未擊中；甲、乙、丙三人至少有兩人擊中。5.設事件滿足，試把下列事件表示為一些互不相容的事件的和：，，. 20解：如圖：6.若事件滿足，試問是否成立？舉例說明。解：不一定成立。例如：，，，那么，，但。7.對于事件，試問是否成立？舉例說明。解：不一定成立。例如：，，，那么，但是。8.設，，試就以下三種情況分別求：（1），（2），（3）.解：（1）；（2）；（3）。 209.已知，，求事件全不發(fā)生的概率。解：=10.每個路口有紅、綠、黃三色指示燈，假設各色燈的開閉是等可能的。一個人騎車經(jīng)過三個路口，試求下列事件的概率：“三個都是紅燈”=“全紅”；“全綠”；“全黃”；“無紅”；“無綠”；“三次顏色相同”；“顏色全不相同”；“顏色不全相同”。解：；；；；.11.設一批產品共100件，其中98件正品，2件次品，從中任意抽取3件（分三種情況：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），試求：（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：（1）；（2）；每次拿一件，取后放回，拿3次：（1）；（2）；每次拿一件，取后不放回，拿3次：（1）；（2）12.從中任意選出3個不同的數(shù)字，試求下列事件的概率：，。 20解：；或13.從中任意選出4個不同的數(shù)字，計算它們能組成一個4位偶數(shù)的概率。解：14.一個宿舍中住有6位同學，計算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；解：（1）；（2）；（3）15.從一副撲克牌（52張）任取3張（不重復），計算取出的3張牌中至少有2張花色相同的概率。解：或 20習題1.2解答1.假設一批產品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，從中任取一件，結果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令“取到的是等品”，。2.設10件產品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件產品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令“兩件中至少有一件不合格”，“兩件都不合格”3.為了防止意外，在礦內同時裝有兩種報警系統(tǒng)I和II。兩種報警系統(tǒng)單獨使用時，系統(tǒng)I和II有效的概率分別0.92和0.93，在系統(tǒng)I失靈的條件下，系統(tǒng)II仍有效的概率為0.85，求（1）兩種報警系統(tǒng)I和II都有效的概率；（2）系統(tǒng)II失靈而系統(tǒng)I有效的概率；（3）在系統(tǒng)II失靈的條件下，系統(tǒng)I仍有效的概率。解：令“系統(tǒng)（Ⅰ）有效”，“系統(tǒng)（Ⅱ）有效”則（1）（2）（3）4.設，證明事件與獨立的充要條件是證：：與獨立，與也獨立。：又而由題設 20即，故與獨立。5.設事件與相互獨立，兩個事件只有發(fā)生的概率與只有發(fā)生的概率都是，求和.解：，又與獨立即。6.證明若>0，>0，則有（1）當與獨立時，與相容；（2）當與不相容時，與不獨立。證明：（1）因為與獨立，所以，與相容。（2）因為，而，，與不獨立。7.已知事件相互獨立，求證與也獨立。證明：因為、、相互獨立，與獨立。8.甲、乙、丙三機床獨立工作，在同一段時間內它們不需要工人照顧的概率分別為0.7，0.8和0.9，求在這段時間內，最多只有一臺機床需要工人照顧的概率。解：令分別表示甲、乙、丙三機床不需要工人照顧，那么令表示最多有一臺機床需要工人照顧， 20那么9.如果構成系統(tǒng)的每個元件能正常工作的概率為，（稱為元件的可靠性），假設各元件能否正常工作是相互獨立的，計算下面各系統(tǒng)的可靠性。系統(tǒng)I12nn+1n+22n系統(tǒng)II1n+12n+2n2n注：利用第7題的方法可以證明與時獨立。解：令“系統(tǒng)（Ⅰ）正常工作”“系統(tǒng)（Ⅱ）正常工作”“第個元件正常工作”，相互獨立。那么10.10張獎券中含有4張中獎的獎券，每人購買1張，求（1）前三人中恰有一人中獎的概率；（2）第二人中獎的概率。解：令“第個人中獎”，(1) 20或（2）11.在肝癌診斷中，有一種甲胎蛋白法，用這種方法能夠檢查出95%的真實患者，但也有可能將10%的人誤診。根據(jù)以往的記錄，每10000人中有4人患有肝癌，試求：（1）某人經(jīng)此檢驗法診斷患有肝癌的概率；（2）已知某人經(jīng)此檢驗法檢驗患有肝癌，而他確實是肝癌患者的概率。解：令“被檢驗者患有肝癌”，“用該檢驗法診斷被檢驗者患有肝癌”那么，（1）（2）12.一大批產品的優(yōu)質品率為30%，每次任取1件，連續(xù)抽取5次，計算下列事件的概率：（1）取到的5件產品中恰有2件是優(yōu)質品；（2）在取到的5件產品中已發(fā)現(xiàn)有1件是優(yōu)質品，這5件中恰有2件是優(yōu)質品。解：令“5件中有件優(yōu)質品”，（1）（2） 2013.每箱產品有10件，其次品數(shù)從0到2是等可能的。開箱檢驗時，從中任取1件，如果檢驗是次品，則認為該箱產品不合格而拒收。假設由于檢驗有誤，1件正品被誤檢是次品的概率是2%，1件次品被誤判是正品的概率是5%，試計算：（1）抽取的1件產品為正品的概率；（2）該箱產品通過驗收的概率。解：令“抽取一件產品為正品”“箱中有件次品”，“該箱產品通過驗收”（1）（2）14.假設一廠家生產的儀器，以概率0.70可以直接出廠，以概率0.30需進一步調試，經(jīng)調試后以概率0.80可以出廠，并以概率0.20定為不合格品不能出廠?，F(xiàn)該廠新生產了臺儀器（假設各臺儀器的生產過程相互獨立），求：（1）全部能出廠的概率；（2）其中恰有2件不能出廠的概率；（3）其中至少有2件不能出廠的概率。解：令“儀器需進一步調試”；“儀器能出廠”“儀器能直接出廠”；“儀器經(jīng)調試后能出廠”顯然，那么所以令“件中恰有件儀器能出廠”，（1）（2）（3）15.進行一系列獨立試驗，每次試驗成功的概率均為，試求以下事件的概率：（1）直到第次才成功；（2）第次成功之前恰失敗次；（3）在次中取得次成功； 20（4）直到第次才取得次成功。解：（1）（2）（3）（4）16.對飛機進行3次獨立射擊，第一次射擊命中率為0.4，第二次為0.5，第三次為0.7.擊中飛機一次而飛機被擊落的概率為0.2，擊中飛機二次而飛機被擊落的概率為0.6，若被擊中三次，則飛機必被擊落。求射擊三次飛機未被擊落的概率。解：令“恰有次擊中飛機”，“飛機被擊落”顯然：而，，，所以； 20習題1.3解答1.設為隨機變量，且(),則（1）判斷上面的式子是否為的概率分布；（2）若是，試求和.解：令（1）顯然，且所以為一概率分布。（2）為偶數(shù)2.設隨機變量X的概率分布為(),且，求常數(shù).解：，而，即3.設一次試驗成功的概率為，不斷進行重復試驗，直到首次成功為止。用隨機變量表示試驗的次數(shù)，求的概率分布。解：4.設自動生產線在調整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1，當生產過程中出現(xiàn)廢品時立即進行調整，X代表在兩次調整之間生產的合格品數(shù)，試求（1）的概率分布；（2）。解：（1）（2）5.一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中有1個答案是正確的。求某學生靠猜測能答對至少4道題的概率是多少？ 20解：因為學生靠猜測答對每道題的概率為，所以這是一個,的獨立重復試驗。6.為了保證設備正常工作，需要配備適當數(shù)量的維修人員。根據(jù)經(jīng)驗每臺設備發(fā)生故障的概率為0.01，各臺設備工作情況相互獨立。（1）若由1人負責維修20臺設備，求設備發(fā)生故障后不能及時維修的概率；（2）設有設備100臺，1臺發(fā)生故障由1人處理，問至少需配備多少維修人員，才能保證設備發(fā)生故障而不能及時維修的概率不超過0.01？解：（1）（按(泊松)分布近似）（2）（按(泊松)分布近似）查表得7.設隨機變量服從參數(shù)為的Poisson(泊松)分布，且，求（1）；（2）.解：8.設書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從Poisson(泊松)分布。經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率。解：，即9.在長度為的時間間隔內，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)服從參數(shù)為的Poisson分布，而與時間間隔的起點無關（時間以小時計），求（1）某一天從中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；（2）某一天從中午12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率；9.在長度為t的時間間隔內，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為的Poisson(泊松)分布，而與時間間隔的起點無關（時間以小時計）.求（1）某一天從中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；（2）某一天從中午12時至下午5時收到1次緊急呼救的概率； 20解：（1）（2）10.已知的概率分布為：-2-101232a3aaa2a試求（1）；（2）的概率分布。解：（1）。（2）11.設連續(xù)型隨機變量的概率密度曲線如圖1.3.8所示.f(x)圖1.3.8xto1230.5試求:（1）的值；（2）的概率密度；（3）.解：（1） 20（2）（3）12.設連續(xù)型隨機變量的概率密度為試確定常數(shù)并求.解：令，即，即13.乘以什么常數(shù)將使變成概率密度函數(shù)?解：令即即14.隨機變量，其概率密度函數(shù)為()試求；若已知，求.解：, 20若，由正態(tài)分布的對稱性可知.15.設連續(xù)型隨機變量的概率密度為以表示對的三次獨立重復試驗中“”出現(xiàn)的次數(shù)，試求概率.解：。16.設隨機變量服從[1,5]上的均勻分布，試求.如果（1）；（2）.解：的概率密度為（1）（2）17.設顧客排隊等待服務的時間（以分計）服從的指數(shù)分布。某顧客等待服務，若超過10分鐘，他就離開。他一個月要去等待服務5次，以表示一個月內他未等到服務而離開的次數(shù)，試求的概率分布和.解： 20習題1.4解答1.已知隨機變量的概率分布為，，，試求的分布函數(shù)；；畫出的曲線。解：；曲線：2.設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為試求:（1）的概率分布；（2）.解：（1）（2）3.從家到學校的途中有3個交通崗，假設在各個交通崗遇到紅燈的概率是相互獨立的，且概率均是0.4，設為途中遇到紅燈的次數(shù)，試求（1）的概率分布；（2）的分布函數(shù)。解：（1）列成表格 20（2）4.試求習題1.3中第11題的分布函數(shù)，并畫出的曲線。解：5.設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為試求:（1）的值；（2）；（3）概率密度函數(shù).解：（1）又 20（2）（3）6.設為連續(xù)型隨機變量，其分布函數(shù)為試確定中的的值。解：又又又即7.設隨機變量的概率密度函數(shù)為，試確定的值并求和.解：即8.假設某地在任何長為(年)的時間間隔內發(fā)生地震的次數(shù)服從參數(shù)為的Poisson(泊松)分布，表示連續(xù)兩次地震之間相隔的時間（單位：年），試求:（1）證明服從指數(shù)分布并求出的分布函數(shù)；（2）今后3年內再次發(fā)生地震的概率；（3）今后3年到5年內再次發(fā)生地震的概率。解：（1）當時，當時， 20服從指數(shù)分布（）（2）（3）9.設，試計算（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）（2）（3）（4）10.某科統(tǒng)考成績近似服從正態(tài)分布，第100名的成績?yōu)?0分，問第20名的成績約為多少分？解：而又即，，11.設隨機變量和均服從正態(tài)分布，，，而，，試證明.證明： 20.12.設隨機變量服從[a,b]上的均勻分布，令，試求隨機變量的密度函數(shù)。解：當時，當時，