《三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊北師大】.docx

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第四章三角恒等變換4.2.3三角函數(shù)的疊加及其應(yīng)用◆教學(xué)目標(biāo)1．通過兩角和與差的三角函數(shù)公式，可以進(jìn)行三角函數(shù)的化簡.2．通過輔助角公式化簡含有未知角三角函數(shù)式.◆教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)：利用兩角和與差的三角函數(shù)公式，將三角函數(shù)式化簡成Asin(ωx+φ)的形式．教學(xué)難點(diǎn)：對輔助角公式應(yīng)用的理解．◆教學(xué)過程◆一、新課導(dǎo)入溫故知新：同學(xué)們，我們上節(jié)課學(xué)習(xí)了兩角和與差的三角函數(shù)公式，一起回顧一下.答案：兩角和與差的三角函數(shù)公式??????????????sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβtanα±β=tanα±tanβ1?tanαtanβ想一想：我們之前學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時(shí)候，常用Asin(ωx+φ)的形式，我們能否把兩角和與差的三角函數(shù)公式把α，β的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成α±β的三角函數(shù)式呢？這節(jié)課我們一起來探討一下.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生上節(jié)課剛剛學(xué)習(xí)了兩角和與差的三角函數(shù)公式，但是應(yīng)用還是停留在計(jì)算三角函數(shù)值的基礎(chǔ)上，這節(jié)課的核心是把公式的用法進(jìn)一步拓展到形如Asin(ωx+φ)三角函數(shù)的化簡上，是建立兩者之間的橋梁．二、新知探究問題1：請同學(xué)們化簡以下式子，并在小組內(nèi)交流你們用的是什么方法？（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°（2）12cosx+32sinx分析：（1）中通過觀察式子的形式，不難發(fā)現(xiàn)和Sα-β 展開后極其相似，故需逆向還原回去達(dá)到化簡的目的；（2）中的兩個(gè)系數(shù)12和32存在隱藏關(guān)系，故可以將它們化為三角函數(shù)的形式，然后用（1）中思路化簡.答案：（1）由公式Sα-β可得sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin72°-42°=sin30°=12（2）可以將12和32分別看成sinπ6和cosπ6.由公式Sα-β可得12cosx+32sinx=sinπ6cosx+cosπ6sinx=sin?(π6+x)在（2）中，12和32都比較特殊，那如果面對一般的系數(shù)，還能用類似的方法化簡嗎？問題2：將acosx+bsinx化簡成Asin(ωx+φ)的形式.答案：問題的關(guān)鍵在于如何把系數(shù)化成三角函數(shù)的形式，這時(shí)候就要引入輔助角公式來協(xié)助解題了.答案：一般地，當(dāng)a，b不同時(shí)為0時(shí)，acosx+bsinx=a2+b2aa2+b2cosx+ba2+b2cosx根據(jù)Sα+β，引入輔助角，使得aa2+b2=cosφ，ba2+b2=sinφ所以acosx+bsinx=a2+b2sinx+φ（a，b不同時(shí)為0）其中角φ所在象限由a，b的符號確定，角φ的值由sinφ和cosφ的值確定，也就是由tanφ=ba來決定.設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)的重點(diǎn)是三角函數(shù)式的化簡，其中特別留意輔助角公式的使用，我們在給學(xué)生講述這個(gè)公式時(shí)，可以給學(xué)生帶入一些常見的a，b比值讓他們更好地理解，比如3:1或1:1，讓他們體會這個(gè)變換的關(guān)鍵點(diǎn).三、應(yīng)用舉例例1：求fx=sinx+3cosx的最大值和最小正周期.分析：式子中兩個(gè)系數(shù)的比值滿足3:1，故可以通過提取公因式2，使式子中出現(xiàn)32和12.解： fx=212sinx+32cosx=2cosπ3sinx+sinπ3cosx=2sinx+π3顯然fx的最大值為2，最小正周期T=2π例2：求fx=12sinx+5cosx的最值和最小正周期.解：fx=131213sinx+513cosx=13cosφsinx+sinφcosx=13sinx+φ其中tanφ=512顯然的最大值是13，最小值是-13，最小正周期T=2π四、課堂練習(xí)1.求函數(shù)fx=sin2x-cos2x的最大值和最小正周期2.求函數(shù)fx=cosx2-π6-sinx2-π6的單調(diào)遞增區(qū)間.參考答案：1.解：fx=sin2x-cos2x=222sin2x-22cos2x=2cosπ4sin2x-sinπ4cos2x=2sinx2-π4顯然，函數(shù)fx的最大值為2，最小正周期T=4π2.解：fx=222cosx2-π6-22sinx2-π6=2sinπ4cosx2-π6-cosπ4sinx2-π6=2sinπ4-x2-π6 =2sin5π12-x2可得函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為11π6+4kπ，-π6+4kπk∈Z五、課堂小結(jié)我們要靈活運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式，把α，β的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化成α±β的三角函數(shù)式.結(jié)合輔助角公式能夠幫助我們更好地解決這個(gè)問題.acosx+bsinx=a2+b2sinx+φcosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2，tanφ=ba六、布置作業(yè)教材P149練習(xí)第1、3題，P152B組第9題．